0 引 言

雷达干扰是指一切破坏和扰乱雷达及相关设备正常工作的战术和技术措施的统称，按照干扰信号的作用机理可分为压制性干扰和欺骗性干扰。其中，压制式噪声干扰是当前雷达干扰系统的一种重要干扰方式，主要以大功率的噪声淹没目标回波，大幅度降低雷达的工作性能，甚至使其无法正常工作。

传统雷达仅仅依靠接收端信号处理技术，对干扰抑制性能的提升程度有限。认知雷达作为一种新型智能雷达系统，最大优势在于获得环境交互信息后自适应地改变发射，因此在信号检测层面对雷达相关性能的提升是最有可能的。为提升接收处理的信干比，认知雷达的主要技术手段包括：1)发射波形优化，即针对雷达干扰设计有效提升信干比的发射波形；2)有针对性的接收处理方法，即能够与发射波形有效配合抑制干扰的处理方法。

针对认知雷达抗干扰波形优化设计，文献[1]提出了一种基于自适应方法的综合波形设计框架，在多个性能目标之间进行不同折中，并对发射信号谱进行了各种不同的约束，然后将其建模成波形设计的凸优化问题，利用成熟的内点法进行全局优化。文献[2-4]将波形自身探测性能要求简化为与已知且具有良好特征波形之间的相似度约束，好处在于很容易将该约束与其他目标和约束共存，易于求解。但也存在明显的缺点，如对波形自身特性很难精细把握或精准控制，容易出现非恒模、高峰均比(Peak-to-Average Ratio, PAR)、旁瓣控制不精细等一系列的缺陷。

本文着眼于干扰与旁瓣的抑制性能，从而提高接收处理的动态范围，提出一种基于干扰和旁瓣均衡抑制的认知雷达波形设计方法。在自适应架构基础上[5]，引入压制噪声干扰模型，通过最小均方误差(Minimum Mean Square Error，MMSE)准则，引入并构造干扰与旁瓣均衡抑制的认知雷达波形优化模型，并将其转化为多变量多约束目标函数模型。然后根据Lagrange乘子法，推导目标函数的Lagrange函数以及对偶原理，同时转化优化模型为最优化对偶函数，通过引入辅助变量和KKT(Karush-Kuhn-Tucker)最优性进行求解。最后设计交替迭代法联合优化发射波形和滤波器，并评估综合处理算法带来的性能提升。

1 认知雷达均衡抑制干扰及旁瓣算法模型

认知雷达抗干扰波形设计的关键问题在于优化发射波形和接收滤波器，从而最小化目标参数的估计误差[6]。

设发射信号波形s为相位编码信号，码长为N，其相位为φ=，则发射信号为s=[ejπφ1ejπφ2… ejπφN]T，[·]T表示向量的转置；失配滤波器的滤波信号为w，码长为N。

显然，基带接收信号：

y=AHa+Uj+Vn

(1)

式中：

a=[a0a1…aN-1a-(N-1)…a-1]T，{ai}为不同距离单元的散射系数，均值为0；Vn为服从高斯分布的噪声信号，令Wn为噪声协方差矩阵；Uj为干扰信号，令Un为干扰协方差矩阵，β为杂波平均能量，一般设为1。

E{VnVnH}=Wn

(2)

E{UjUjH}=Un

(3)

E{|ak|2}=β

(4)

通过匹配滤波，可得到离散系数a0的估计值然而估计值的均方误差可通过对接收信号进行失配滤波得到，即

的最小均方误差为

(5)

式中：

(6)

Rn=Vn+Un

(7)

式中，Jp为转移矩阵，定义为δm-l-p，δ(·)为Kroneckerδ函数，Qs=βssHJp为发射信号旁瓣协方差矩阵，同理，滤波器旁瓣协方差矩阵为Qw。

在认知雷达波形和接收机设计中，最重要的是最小化上述推导的最小均方误差即同时，为使信号通过滤波器后，每个特定方向的信号功率为常数，加上约束wHs=1，因此目标函数简化为虽然着眼点是抗干扰性能，但雷达发射波形用于自身目标探测时的主峰和旁瓣性能也会影响到最终的目标探测性能。因此，抗干扰发射波形的优化问题可描述为自身主瓣比约束下的干扰抑制性能，加上第二个约束条件wHRnw=wHQsw，由此可建立如下波形优化模型。

当发射信号s已知时，求解接收滤波器w，模型如下：

R(1)

s.t.wHRnw=wHQsw

(8)

wHs=1

同理，交替迭代当接收滤波器w已知时，求解发射信号s，模型如下：

R(2)

s.t.sHRns=c(c为常数，c=wHRnw)

(9)

sHw=1

由模型可知，通过优化发射信号s和接收滤波器w，使得滤波器对信号旁瓣和干扰信号有抑制作用,使输出信号旁瓣和干扰功率最小，R(1)中约束wHRnw=wHQsw和R(2)中约束sHRns=c表示滤波器对两者的抑制效果均衡；R(1)中约束wHs=1和R(2)中约束sHw=1表示信号通过滤波器后，每个特定方向的信号功率为常数。

在上述均衡抑制干扰及旁瓣的算法基础上，可进行拓展研究，更改算法的约束条件，追求对干扰信号抑制能力大于自身处理旁瓣能力，实现动态抑制干扰性能，加大认知雷达干扰抑制的可控力，从而修改算法模型如下：

当发射信号s已知时，求解接收滤波器w，模型如下：

C(1)

s.t.wHRnw=k

(10)

wHs=1

同理，交替迭代，当接收滤波器w已知时，求解发射信号s，模型如下：

C(2)

s.t.sHw=1

(11)

由模型可知，目标函数表示通过优化发射信号s和接收滤波器w，使得滤波器对信号旁瓣和干扰信号有抑制作用,使输出信号旁瓣和干扰功率最小，C(1)中wHRnw=k表示滤波器对干扰的抑制效果达到10lgkdB，更改k值，便可更改干扰的抑制程度，具有动态抑制干扰性能；C(1)中wHs=1和C(2)中sHw=1表示信号通过滤波器后，每个特定方向的信号功率为常数。

2 模型求解方法

2.1 均衡抑制干扰及旁瓣的算法

均衡抑制干扰及旁瓣的算法实现干扰信号抑制和自身处理旁瓣的平衡，并有两个约束条件，求解优化后的发射信号s与接收滤波器w。因此可采用交替迭代法进行求解模型，可将总体模型分成两部分：R(1)假设发射信号s已知时，求解接收滤波器w；R(2)假设接收滤波器w已知时，求解发射信号s。在每一个子模型中，由于优化问题本身的复杂度并不高，且去除发射波形的恒模约束后该问题就是一个凸优化问题，因此针对多约束下的凸优化问题，可以采用Lagrange对偶的方法进行优化求解。首先引入系数构造Lagrange函数，接着寻找对偶函数，然后根据对偶函数构造新的优化函数，最后通过对新优化问题的求解实现原优化问题的求解。

当发射信号s已知时，求解滤波器w，子模型如下：

R(1)

s.t.wHRnw=wHQsw

(12)

wHs=1

目标函数的Lagrange函数为

L(w,a1,b1)=wH(Qs+Rn)w+

a1(wHQsw-wHRnw)+

b1(wHs-1)=

wH[Qs+Rn+a1(Qs-Rn)]w+

b1(wHs)-b1

(13)

式中，a1，b1是Lagrange乘子，不为0的常数。

利用数学上的对偶原理，求式(13)L(w,a1,b1)的最小值：

当式(14)成立时，L(w,a1,b1)取得最小值。

(14)

则目标函数转化为

max L(w,a1,b1)=

a1(Qs-Rn)]-1s-b1

(15)

等价于

minh(a1,b1)=sH[Qs+Rn+

a1(Qs-Rn)]-1s+b1

(16)

令当时，等价于求解minf(a1)。

利用线搜索法求得a1，b1，将a1，b1，s的表达式代入式(14)，可求得滤波器w。

接着，求解第二个模型。

当滤波器w已知时，求解发射信号s，子模型如下：

R(2)

s.t.sHRns=c(c为常数,c=wHRn w)

(17)

sHw=1

Lagrange函数：

L(s,a2,b2)=sH(Qw+Rn)s+

a2(sHQws-c)+b2(sHw-1)=

sH(Qw+Rn+a2Qw)s+

b2(sHw)-a2c-b2

(18)

式中，c为常数，c=wHRnw。

利用对偶原理求式(18)L(s,a2,b2)的最小值：

(19)

当式(19)成立时，L(s,a2,b2)取得最小值,则目标函数转化为

max L(w,a2,b2)=

a2Qs]-1s-a2c-b2

(20)

等价于，在Qw+Rn+a2Qw>0情况下：

ming(a1,b1)=sH[Qs+Rn+

a2Qs]-1s+a2c+b2

(21)

令

当时，得到

(22)

利用线搜索法求得a2，b2，并将a2，b2，w的表达式代入式(22)，可求得发射波形s。

最后通过算法的交替迭代，继续优化滤波器w和发射信号s，直至求得优化发射信号和滤波器满足目标函数和约束要求。

综上，该算法求解过程利用Lagrange乘子法，通过引入多个辅助变量和KKT最优条件性，简化求解过程的复杂度，使算法易于求解，具有可行性。

该算法采用压制干扰进行仿真分析，其干扰特性如下：

压制性噪声调幅干扰信号，信号表达式为Uj=[U0+Un(t)]exp[j2πfct+φ0]，U0为射频信号的幅度，fc为中心频率，φ0为初始相位，服从[0,2π]均匀分布，调幅噪声Un(t)是一个均值为0、方差为1、分布区间为[-U0,∞]的广义平稳随机过程。

其步骤如表1所示。

表1 认知雷达均衡抑制干扰及旁瓣算法

Step0：设参数码长为N，设初始发射信号为随机相位编码信号，模恒为1，并计算协方差矩阵为Qs，设定干扰信号为Uj=U0+Unt()[]expj2πfct+φ0[]，计算其协方差矩阵Rn；Step1：当发射信号s已知时，求解滤波器w：1)令f(a1)=14sH[Qs+Rn+a1(Qs-Rn)]-1s，求解a1，使得f(a1)达到最小值；2)求得b1=-12f(a1)，w=-b12[Rn+Qs+a1(Qs-Rn)]-1s；Step2：当滤波器w已知时，求解发射信号s：1)计算c=wHRnw，计算滤波器w的协方差矩阵Qw；2)令m(a2)=14wH(Qw+Rn+a2Qw)-1w，求解a2，使得ma2()达到最小值；3)计算b2=-12m(a2)，求得s=-b22(Qw+Rn+a2Qw)-1w，对s进行恒模处理s=ej(arg(s))；Step3：重复Step1和Step2，直到wHQs+Rn()w达到最小值。

2.2 动态抑制干扰性能算法求解

动态抑制干扰性能算法加大了认知雷达干扰抑制的可控力，求解方法如下：

1)当发射信号s已知时，求解接收滤波器w，模型如下：

C(1)

s.t.wHRnw=k

(23)

wHs=1

其Lagrange函数为

L(w,a3,b3)=wH(Qs+Rn)w+

a3(wHRnw-k)+b3(wHs-1)=

wH(Qs+Rn+a3Rn)w+

b3(sHw)-a3k-b3

(24)

式中,a3,b3为不为0的常数。

利用对偶原理求式(24)L(w,a3,b3)的最小值：

当式(25)成立时，L(w,a3,b3)取得最小值。

(25)

目标函数等价于

max L(w,a3,b3)=

Qs+a3Rn)-1s-b3

(26)

转化为

minu(a3,b3)=sH(Rn+

Qs+a3Rn)-1s+b3

(27)

令

当时，求解minv(a3)所对应的a3，b3。

2)同理，当接收滤波器w已知时，求解发射信号s，模型如下:

C(2)

s.t.sHw=1

(28)

当滤波器已知时，其Lagrange函数为

L(s,b4)=sH(Qw+Rn)s+b4(sHw-1)=

sH(Qw+Rn)s+b4sHw-b4

(29)

利用对偶原理求式(29)的最小值：

当式(30)成立时，L(w,a4,b4) 取得最小值。

(30)

模型转化为

令

当时，求解minx所对应的a4,b4。

交替迭代，直至求得优化发射信号和滤波信号。

3 仿真实验和性能分析

选取参数：发射信号s码长N为200，旁瓣信号用平均旁瓣电平来表征旁瓣性能，在数学形式上表征为2范数平方的均值。接收端滤波器为w，干扰信号为Uj，其协方差为Rn。输入信干比定义为在雷达发射端发射信号与干扰信号平均功率之比，；输出信干比定义为在雷达接收端目标信号回波和干扰信号平均功率之比，SIRout=10lg((s·w)2/wHRnw)。干扰信号为压制性噪声调幅干扰信号，信号表达式为Uj=[U0+Un(t)]exp[j2πfct+φ0]，射频信号的幅度U0为0，中心频率fc为35 MHz，初始相位φ0为0，调幅噪声Un(t)是一个均值为0、方差为1、分布区间为[-U0,∞]的广义平稳随机过程，φ0服从[0,2π]均匀分布。

图1为噪声调幅干扰信号功率谱分析。其中图1(a)为调幅噪声Un(t)功率谱，图1(b)为已调波噪声功率谱。从仿真结果可见噪声调幅干扰功率集中在中心频率fc=35 MHz，幅度为20 dB左右。

(a)调制噪声功率谱

(b)已调波功率谱
图1 噪声调幅干扰信号功率谱分析

图2为发射信号分别为线性调频信号和优化码的处理结果对比图。图2(a)发射信号s采用线性调频信号s=ejπf0t2，并设滤波器w=s，在接收端，信干比为0 dB左右，信旁瓣比为39 dB。

图2(b)为采用均衡抑制模型优化编码后，采用码长N为200的优化发射信号s和滤波器w，在接收端可见，噪声调幅干扰及信号旁瓣都被抑制了，且抑制程度相当，信干比与信旁瓣比都为49 dB，而目标所在位置有一个尖峰，达到了算法模型中第二个约束条件。

(a)线性调频信号处理结果

(b)优化码处理结果
图2 均衡抑制干扰及旁瓣电平优化前后对比图

表2是发射信号分别为线性调频信号及优化码信号，接收端处理分析。

表2 不同信号形式接收端处理结果

信号形式信干比/dB信旁瓣比/dB线性调频信号039优化码4949

从图2和表2对干扰及旁瓣抑制能力分析可知，优化码能够更大力度并均衡抑制干扰信号及旁瓣，提高目标检测性能。

图3 均衡抑制干扰及旁瓣迭代效果图

图3为均衡抑制干扰及旁瓣迭代效果图，从每一次优化迭代接收端的旁瓣电平和干扰电平，可以看出两者呈下降趋势，并逐渐趋于相等，达到了算法模型中第一个约束条件，体现了算法的收敛性和稳健性。

图4(a)为发射信号为线性调频信号时的输入/输出信干比对比图，随着输入干信比的增大，输出信干比逐渐减小，而旁瓣电平维持在固定值39 dB不变。图4(b)为均衡抑制算法中干扰及旁瓣电平输入输出信干比对比图，随着输入干信比在-3～14 dB范围内变化，输出信干比和主旁瓣比均在49 dB左右。从整体实验结果分析，验证了该算法的可行性，利用拉格朗日法求解算法模型，能够均衡抑制旁瓣电平和干扰电平，提高了信号的检测性能。

(a)线性调频信号

(b)均衡抑制算法
图4 干扰及旁瓣电平输入输出信干比

通过类似方法的求解算法，求解修改后的算法模型，实现动态抑制干扰性能，并对该模型进行Matlab仿真。发射信号s码长N为200，干扰信号为噪声调幅干扰，采取图1干扰形式，干扰抑制能力k=10-6，表示认知雷达接收端约束干扰抑制能力达到-60 dB。图5为修改后模型接收端处理结果，可见信干比为58 dB，信旁瓣比为30 dB，验证了该算法扩展的可行性。图6为动态抑制干扰迭代效果图，可以看出该算法趋于收敛，干扰电平在-60 dB左右。

相比较于均衡抑制算法，固定电平抑制干扰能够在动态输入信干比情况下，更加稳定输出信干比。在实际应用中，更改算法中的干扰抑制能力k值，能够动态处理干扰抑制范围，增强了实用性。

图5 动态抑制干扰化后处理结果

图6 动态抑制干扰迭代效果图

4 结束语

认知雷达采用有效的反馈机制，把接收处理系统“感知”到的目标、场景特征信息反馈到发射端，指导天线系统采用与之“匹配”的发射方式。本文旨在认知雷达自适应波形设计，在自身主瓣比约束下抑制干扰的同时，能够提高对特征目标的检测性能。针对多约束下的凸优化问题，可以采用Lagrange对偶的方法进行优化求解。首先引入系数构造Lagrange函数，接着寻找对偶函数，然后根据对偶函数构造新的优化函数，通过对新优化问题的求解实现原优化问题的求解，最后通过交替迭代，优化出发射信号s和接收滤波器w。仿真结果表明，该算法能够均衡抑制干扰及旁瓣电平，并且易于求解，具有可行性。

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