图1FDA模型
频率分集阵列(Frequency Diverse Array，FDA)与相控阵最大的不同就是相邻阵元之间存在很小的发射频率间隔(即频率增量)[1]，这使得FDA波束指向与角度和距离均相关，具有抗主瓣干扰的能力[2]。传统FDA采用的是固定的频率增量，并不能使其在复杂变化的环境中都具有最优的探测性能。为此，展开了很多关于FDA频率增量的研究。王文钦在文献[3]中提出了认知FDA雷达的概念，指出FDA雷达可根据外部环境的变化，自适应调整频率增量，提高了FDA雷达的目标检测性能；王永兵提出了一种通过使克拉美罗界(CRLB)最小化的FDA雷达最优频率增量选取方法，提升了目标位置估计的精确度[4]；Basit等提出了一种通过改变FDA频率增量可自适应控制波束指向目标位置的方法[5]；Khan等指出采用时变的频率增量可在期望空间位置保持高增益的峰值波束，消除了时间的周期变化[6]；文献[7-8]将FDA输出最大SINR对应的频率增量作为选取的最优频率增量，提升了FDA雷达在不同环境下的抗干扰能力；另外，文献[9-10]分别分析了频率增量误差对FDA雷达和FDA-MIMO雷达的方向图和目标参数估计的影响。
然而，上述文献虽然给出了FDA最优频率增量的选取方法，但均没有深入分析干扰背景下的FDA最优频率增量选取的必要性。基于此，本文深入探究了干扰和目标导向矢量的相关程度与输出SINR的关系，进而得出干扰和目标位置对输出SINR的影响。在存在主瓣干扰的情况下，输出SINR会随着频率增量的变化出现很深的凹陷，且这种凹陷呈现周期性变化，选取不当的频率增量就会使得FDA雷达的目标检测性能急剧下降。因此，对FDA最优频率增量的选取进行研究具有重要意义。
假设FDA是共有N个阵元的收发共置等距均匀线阵，阵元间距为d，传输的信号为远场窄带信号，选第一个阵元为参考阵元，阵列模型如图1所示。
图1FDA模型
第m个阵元辐射信号的频率为
fm=f+(m-1)Δf，m=1,2,…，N
(1)
式中，f和Δf分别表示参考阵元的频率和相邻两个阵元之间的频率增量。
则第m个阵元辐射的信号到达目标(r,θ)时，可表示为
sm(t;θ,r)=
(2)
式中，c0表示光速，rm表示目标与第m个阵元的距离，wm表示信号的幅度信息。从式(2)可以发现，FDA波束指向与目标相对于阵列所处的位置相关，即具有距离-角度耦合性。
第m个阵元与参考阵元之间的相位差为
Δφ1,m=φm-φ1=
(3)
注意到，当f≫NΔf时，第三项相比较前两项带来的相位差可忽略不计。因此，不考虑幅度信息，则FDA的发射方向图可近似表示为
P(t;θ,r)≃
(4)
当满足式(5)时，方向图取极值[11]
(5)
可以发现FDA方向图在角度、距离和时间上均具有周期性。
由于在FDA雷达的3种接收处理方式中，第三种接收处理方式获得的波束方向图最好，目标增益也最高[12-13]，故本文采用FDA的第三种接收处理方式进行分析，将每个阵元接收的N个频率的信号提取出来并重排，再进行信号处理。这样，FDA就由原来的N个阵元虚拟地扩展成了N×N个阵元。为方便数学分析，只考虑一个目标，位置为(θs,rs)，一个干扰，位置为(θj,rj)。噪声n为均值为0、方差为
的高斯白噪声，与目标信号和干扰均不相关。则干扰加噪声协方差矩阵为
Rj+n=(δjvj+n)×(δjvj+n)H=
(6)
式中，
为干扰功率，vj为干扰导向矢量，I为单位阵。则
(7)
经过最优波束形成器滤波后的输出信干噪比为
(8)
式中，vs和
分别为目标导向矢量和信号功率。当噪声、信号和干扰的功率以及阵元个数一定时，对输出SINR影响的只有
的值。而目标与干扰导向矢量的相关系数定义为
(9)
式中，
为定值，则输出SINR为
(10)
由上式可知，当目标与干扰导向矢量相关性越强，即
越大，输出SINR就会越小。特别地，在干扰功率远大于噪声功率的条件下，当目标与干扰导向矢量相干即
时，输出SINR约为0，此时FDA雷达的目标探测能力下降最为严重。
下面进一步分析频率增量Δf的选取以及目标和干扰位置对输出SINR的影响。
vs=
⊗
(11)
令
则
(12)
同理可得
vj=[Bj,exp(j2π(xj-yj))Bj,…,
exp(j2π(N-1)(xj-yj))Bj]T
(13)
式中，
则有
|ρsj|=
(14)
上式取极大值，即目标与干扰导向矢量最相关时，输出SINR最小，此时有下式：
(15)
式中，k,p为任意整数。
由于取
使得
若干扰与目标的角度相差较大，即只有副瓣干扰时，很难满足条件
进而使得目标与干扰导向矢量相关性大大降低，此时，Δf的取值对目标与干扰的导向矢量相关性基本无影响，输出SINR都会很高，若再进行最优频率增量的选取，意义不大。
而当存在主瓣干扰，即基本满足条件
时，若目标和干扰位置以及频率增量满足式
就会使得目标与干扰导向矢量相关性大大增强，输出SINR会急剧下降，并形成凹陷。
此时，当频率增量一定时，干扰的距离为
(16)
式中，q为任意整数。则干扰的距离周期为
当干扰与目标位置一定时，频率增量为
(17)
可以发现，当Δf取上式值时，输出SINR会急剧下降，形成凹陷的周期为
故存在主瓣干扰时，需要进行最优频率增量的选取，提升输出SINR，进而提高FDA雷达的目标探测能力。
假设FDA阵元数为18，目标位置为(0°,40 km)，频率增量为5 kHz，载频为1 GHz。干扰位于角度范围为(-90°,90°)、距离范围为(0,100 km)的任一位置。图2为干扰与目标导向矢量相关系数仿真图，从中可以看出其周期为30 km，与
一致。当干扰与目标的角度相差大于一个波束宽度，即不在主瓣内时，两者的导向矢量相关性大大降低，与理论分析一致。
(a) 三维图
(b) 二维图
图2 干扰与目标导向矢量相关系数图
下面进一步仿真分析目标与干扰的位置对输出SINR的影响。阵元数为18，载频为1 GHz，目标位置为(10°,40 km)，位于第100个距离门上，假设一个干扰的位置为(10°,90 km)。频率增量选取范围设置为[0：200 Hz：20 kHz]，干扰与目标导向矢量相关系数仿真图及输出SINR随频率增量变化图分别如图3、图4所示。
图3 相关系数随频率增量变化图
图4 输出SINR随频率增量变化图
由上图可以发现，相关系数和输出SINR形成零陷的频率增量Δf周期为3 kHz，与理论计算值
一致。改变干扰位置为(9°,65 km)，使得干扰角度与目标角度不同，但仍在主瓣内。仿真图如图5、图6所示。
图5 相关系数随频率增量变化图
图6 输出SINR随频率增量变化图
可以发现，相关系数和输出SINR形成零陷 的频率增量Δf周期为6 kHz，与理论分析值
一致。但由于干扰角度与目标角度不同，输出SINR的凹陷深度明显变浅，但仍有7 dB的损失。
改变干扰位置为(0°,65 km)，使其不落在主瓣内，仿真图如图7、图8所示。
图7 相关系数随频率增量变化图
图8 输出SINR随频率增量变化图
可以发现，当干扰不在主瓣内时，其相关系数虽然呈现周期性变化，但很明显由于干扰与目标导向矢量相关性的急剧下降，使得输出SINR不再具有明显周期性的凹陷，这时可以发现，不管频率增量如何变化，输出SINR一直都很高，因此，在仅有副瓣干扰的条件下进行最优频率增量的选取，意义不大。
在采用最优波束形成算法抗干扰的前提下，本文针对FDA雷达最优频率增量选取的必要性进行了研究分析，从理论上推导出输出SINR与目标和干扰导向矢量相关系数之间的关系，分析了目标与干扰的相对位置对输出SINR的具体影响，并得出结论：在只有副瓣干扰的情况下，可不进行最优频率增量的选取，采用常规固定的频率增量也能输出较高的SINR；而在有主瓣干扰的情况下，选取不当的频率增量，会使得输出SINR急剧下降，严重影响FDA雷达的抗干扰能力。所以在存在主瓣干扰时，进行FDA最优频率增量的选取是很有必要的。
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