0 引言
随着现代战争中电磁环境日趋复杂，敌对双方争夺电磁空间控制权的斗争日趋激烈。作为电子战重要组成部分的侦察接收机面临着更加复杂、密集和动态变化的电磁信号环境[1]。
多速率滤波器组是侦察接收机的关键组成部分。其基本思想是将接收机接收到的宽带信号通过分析滤波器组分割成一系列子带信号，通过频谱检测技术判断存在信号的子带位置，然后通过对应的综合滤波器组重构相应的子带，完成信号的提取[2]。因而滤波器组的重构特性对侦察接收机提取信号具有重要的影响。滤波器组的设计可以归结为对应的原型低通滤波器的设计[3]。常用的原型滤波器的设计方法是基于格型结构的设计方法[4]，但当信道数较多时，格型设计无法保证较大的阻带衰减。文献[5]提出了一种单参数优化设计法，在一定的区间内不断地搜索、优化原型滤波器的截止频率，计算效率低且所设计的原型滤波器的阻带衰减并不理想。文献[6-7]用不同的窗函数设计原型滤波器，但是这些方法的每一次迭代都需要重新设计滤波器，多次迭代后才能得到最优解，大大增加了运算量。
针对以上问题，本文提出了一种利用窗函数截取具有功率互补特性的平方根升余弦函数来获取滤波器系数的方法设计原型滤波器。在降低设计复杂度的同时提升了滤波器组的重构性能。
1 滤波器组完全重构的条件
本节将以M通道DFT滤波器组为分析对象，推导滤波器组完全重构的充分条件。
M通道DFT滤波器组如图1所示，Hm(z)和Gm(z),0≤m≤M-1分别为分析滤波器和综合滤波器有限脉冲响应的Z变换。
图1 M通道DFT滤波器组
DFT滤波器组中的分析和综合滤波器组都是由具有线性相位的原型滤波器H(z)在频率轴上移位而来，且原型函数h(n)是对称的，则有
(1)
式中，
重建信号可以表示为
(2)
0≤m≤M-1定义子带间的干扰误差矩阵为A(z)：
(3)
可以看出，子带间滤波器组的混叠是影响重构信号误差的重要因素。滤波器组完全重建的条件是：
(4)
将式(1)代入可得
(5)
因此，滤波器组完全重建的条件表示为[8]
(6)
2 原型滤波器的设计
根据第1节的分析，滤波器组的重构特性由原型低通滤波器的特性决定。在设计原型低通滤波器时主要考虑下列因素。
1) h(n)必须满足线性相位的条件，即h(n)=h(L-1-n), L为滤波器长度。
2) H(ejw)的阻带衰减足够大，从而使得除了和相邻通道外，与其他通道的带间干扰能够被衰减到最小。
3) 相邻两通道的传输函数需满足功率互补的条件，即
其中K表示信道数。
定义目标函数φ
φ=max{||H(ejw)|2+|H(ej(w-2πk/K))|2-1|}
(7)
为了满足功率互补条件，可以通过各种方法对式(7)进行优化，进而设计原型低通滤波器，但这些设计方法较为复杂，运算量大。窗函数是一种简单高效的滤波器设计方法，本文通过窗函数对具有功率互补特性的平方根升余弦函数进行截取来获取滤波器系数，降低了设计的复杂度。
FIR原型滤波器的冲激响应由理想滤波器hideal(n)和窗函数w(n)表示:
h(n)=hideal(n)×w(n)
(8)
升余弦函数具有功率互补特性，因此可以利用升余弦函数来设计理想滤波器。定义H2(ejw)为升余弦函数，即
(9)
式中，wc表示低通滤波器的截止频率，r表示滚降因子。H2(ejw)在通带|w|≤(1-r)wc内为1，在阻带|w|≥(1+r)wc内为0。
假设滤波器的截止频率wc=π/M，取r=1,代入式(8)可得
(10)
把w=w-2πk/M代入式(10)中，有
(11)
一般划分信道数为偶数，因此对于偶数M，有
(12)
由式(12)和式(6)对比可知，升余弦函数具有功率互补特性。对式(12)开根号可得到平方根升余弦函数的表达式为
(13)
式中，wc=π/M，将其代入式(13)中可得对应的传输函数：
-
<t<
(14)
当t=0时，式(14)无效，h(0)定义为
(15)
类似地,在t=±M/4r点处上式同样无意义，h(±M/4r)定义为
h(±M/4r)=
(16)
理论上式(14)中的原型低通滤波器是无限长的，满足功率互补特性，但实际应用中窗函数截取的滤波器长度是有限长的，功率互补特性不能完全满足，因此必然产生幅度失真,但可以通过选取合适的r和增加滤波器长度来降低误差。图2给出了平方根升余弦函数的时域波形和频谱图。
(a) 平方根升余弦函数时域波形
(b) 平方根升余弦函数频谱图
图2 平方根升余弦函数示意图
根据上述分析，现将原型滤波器的设计流程表示如下。
1) 选取合适的窗函数。
2) 设定滤波器的通道数M、抽取倍数R和阻带截止频率ws。
3) 根据ws=(1+r)fs/2M确定余弦滚降因子r。
4) 设置初始滤波器长度L，根据式(14)产生理想滤波器hideal(n)的冲激响应。
5) 根据式(8)产生原型滤波器h(n)的冲激响应。
6) 设定目标函数的值，不断增加滤波器长度来计算目标函数，当所得结果小于设定值时，停止运算获取滤波器长度L，根据式(8)设计出原型滤波器h(n)。
3 仿真分析
利用本文算法设计256通道的WOLA结构滤波器组。系统采样率为1 280 MHz，抽取倍数R=176，可得原型滤波器截止频率ws=fs/2R=3.64 MHz。根据ws=(1+r)fs/2M可得滚降因子r=0.45。窗函数选择凯撒窗(β=9)，滤波器初始长度设定为4 096，步进为32，目标函数的值设定为5×10-4 dB。经过迭代运算进行优化的滤波器的阶数为11 264。图3给出了优化后的原型滤波器的波形图。
(a) 频谱图
(b) 时域波形
图3 原型低通滤波器波形图
图4 窗函数对原型滤波器的影响
由图可以看出，所设计的原型低通滤波器的-3 dB带宽为5 MHz，阻带衰减大于110 dB，具有良好的阻带衰减特性。图4表示不同窗函数对于原型低通滤波器设计的影响，可以看出，矩形窗设计的原型滤波器的阻带衰减最小，只有-60 dB左右，凯撒窗的阻带衰减最大，能够达到-110 dB,因此选用凯撒窗设计原型滤波器能够有效地抑制子带间的混叠和镜像干扰。图5(a)给出了子带滤波器组的频域分布情况，可以看出相邻的子带滤波器均在截止频率(2.5 MHz)处重叠，幅度为-3 dB。图5(b)给出了相邻子带功率谱相加后的结构，由仿真结果可以看出功率谱相加后的重构误差在5×10-4 dB内，满足功率互补特性，因此所设计的原型低通滤波器具有良好的重构特性。利用传统单参数优化法设计相同参数和阶数的滤波器，与本节方法所设计的滤波器进行对比分析。图6给出了两种方法设计相同滤波器组的重构误差比较，可以看出，用本文算法设计的原型滤波器明显优于传统的单参数优化法。
(a) 子带滤波器频域分布
(b) 子带功率相加后的幅度谱
图5 原型低通滤波器功率互补特性
图6 重构误差比较
4 结束语
本文从滤波器组完全重构的条件出发，提出了利用窗函数截取具有功率互补特性的平方根升余弦函数来获取滤波器系数，进而设计出原型低通滤波器的方法。与传统单参数优化法相比，每一次迭代不需要重新设计滤波器，设计复杂度降低，同时原型滤波器的过渡带具有余弦滚降特性，滤波器组可以获得更好的重构性能。通过理论分析和仿真验证表明，本文的算法设计的原型滤波器在重构误差上优于传统的单参数优化法，具有良好的重构特性。
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