0 引 言
频率捷变技术可以大大提高雷达的抗干扰能力与战场生存能力[1-5]，因此国内外军用雷达常采用频率捷变体制。为了能在战争中获得主动权，要求雷达必须能够准确估计敌方目标的方向。在阵列信号处理中，目标角度估计方法有很多，如波束形成、子空间类算法[6-7]和最大似然算法[8]等。频率捷变雷达通常采用脉间频率捷变技术，相邻发射脉冲的载频会在较宽频段内快速变化，使得目标相邻回波去相关，且相邻脉冲信噪比起伏严重[9]，因此频率捷变雷达进行目标角度估计性能较差，只有想办法将频率捷变雷达的多次不相干快拍数据进行合理有效的积累，才能提高测角精度。
目前，频率捷变雷达进行角度估计时可以采用二进制积累方式或者非相干积累的方式对多次快拍进行处理[10]，这两种方式都是基于最大似然算法的。二进制积累即先对每一次快拍数据进行角度估计，得到一组角度估计值，然后对这组角度估计值进行取平均操作，这种处理方式只是简单取平均，因此性能依然很差。非相干积累方法即采用最大似然算法对多次快拍数据直接进行处理，建立起代价函数，通过使代价函数最大化来估计目标角度，该方法只是对多次快拍数据的简单利用，因此对测角性能的提高有限，尤其是当信噪比较低时，测角精度依然较差。
针对上述问题，本文提出一种频率捷变相控阵雷达最大似然测角方法，该方法对每一次快拍数据分别进行角度估计，得到一组角度估计值，然后利用多次快拍的测角精度得到一组最优融合的权值，用该组权值对多次角度估计结果进行融合得到新的角度估计值。该方法充分挖掘了多次快拍数据的有效信息，能够有效地提高测角精度，在低信噪比时测角精度依然能得到一定提升，具有实际工程意义。
1 信号模型
设阵列为一个由N个阵元组成的均匀线阵，阵元间距为d，θt为目标回波方向，λ为雷达波长，由于在相同方位上同一距离单元内存在两个目标的情况很少发生，因此，本文假设阵列模型为单目标模型，并对阵列接收到的信号进行M次快拍采样，则M次快拍的接收数据可以表示为
x(m)=Smam(θt)+n(m), m=1,2,…,M
(1)
式中，Sm为目标信号的复包络，可表示为Sm=smejφm，相位φm在
上服从均匀分布，此外，对于频率捷变雷达来说，目标回波类型可视为SwerlingⅡ或Swerling Ⅳ类型 ，对于SwerlingⅡ类型回波，幅度sm服从瑞利分布，对于SwerlingⅣ类型回波，幅度sm服从一优加分布。
am(θt)表示第m次快拍时目标信号的导向矢量，此导向矢量与每次快拍数据的载频有关，其表达式可以写为
(2)
式中，[·]T表示矩阵转置，fm表示第m次快拍时雷达信号的载频，为保证多次快拍数据之间互不相关，任意两次快拍数据的载频频差至少为
即有
表示取绝对值，c表示光速，Lt表示目标有效的径向尺寸。
n(m)表示零均值的高斯白噪声，与信号不相关。
2 频率捷变相控阵雷达最大似然测角方法
2.1 基本原理
对于频率捷变相控阵雷达，每次快拍都可获得一个角度估计值，但是由于各次快拍间的信噪比起伏很大，导致这一组角度估计值的估计精度也相差较大。该算法从测角精度出发，在对角度信息进行融合时应该根据测角精度来优化权值，如果该次快拍的测角精度高，则该次快拍角度估计值对应的权值大，反之，精度低的角度估计值对应的权值小，因此可以根据多次快拍数据的信息得到一组最优权值使得融合后的角度估计值精度达到最高。具体过程如下：
首先，对每一次快拍进行角度估计，设第m次快拍时的扫描波束导向矢量矩阵为
(3)
式中，Θ为雷达作用空域角度集合，为了表示方便，将Am(Θ)简记为Am，am(θt)简记为am，x(m)简记为xm。利用权矢量Am对M次快拍数据分别进行常规波束形成，求得M次快拍数据的似然函数分别为
(4)
式中，[·]H表示矩阵的共轭转置，
则M次快拍数据得到的目标角度估计值分别为
(5)
对
进行最优融合加权，得到最终的角度估计值：
(6)
式中，wm,m=1,2,…,M表示最优融合权值，
且0≤wm≤1，该方法的关键就在于最优融合权值的选取，具体过程将在后面小节给出。
2.2 单次快拍下最大似然算法的理论精度分析
最优权值的选取与各次快拍的测角精度密切相关，为了便于最优权值的计算，在本小节对单次快拍时最大似然算法角度估计的偏差和方差理论值进行推导，本文推导的理论前提为每次测角的误差服从零均值的高斯分布，由于篇幅受限，这里省略了推导过程，具体可参考文献[11]。
在上述信号模型下，当信噪比足够大时，单次快拍最大似然算法测角偏差和方差分别为
(7)
[σ2/|s|2+(N)-1σ4/|s|4]*
(8)
式中，E{·}为求数学期望，Re{·}为求实部，*表示相乘，
为单次快拍时目标信号的导向矢量，
为阵元信噪比。
上式中的角度估计方差为两部分之和，随着阵元数或阵元信噪比|s|2/σ2的增大，两部分趋于零，但第二部分趋于零的速度要远快于第一部分。因此在阵元数或信噪比足够大的情况下，单次快拍时最大似然算法的角度估计理论均方误差为
(9)
检测波束的输出信噪比
以下简称检测信噪比，基于此，对式(9)进行化简得
(10)
式中，f为当前快拍雷达信号的载频，k为一固定常数，与阵元个数、阵元间距、目标方向有关，k值并不影响后面最优权值的计算。
2.3 最优融合加权
M次快拍得到的M个角度估计值之间彼此相互独立，由2.2节可得M个角度估计值的偏差和方差为
(11)
(12)
式中，fm表示第m次快拍雷达信号的载频，
表示第m次快拍时的检测信噪比。
则经过推导，可得融合后新的角度估计值
的偏差和方差为
(13)
(14)
为了提高测角精度，即需
达到最小，那么只需求解如下优化问题即可：
(15)
wm≥0,m=1,2，…,M
对上述优化问题进行求解，得到最优权
m=1,2,…,M
(16)
用此最优权值对M个角度估计值进行加权获得的目标角度估计值，此时可保证测角误差最小。
由式(16)可知，求解最优权值时需要知道每一次快拍时雷达信号的载频fi，以及检测信噪比
为已知雷达系统参数，因此求最优权值的关键就在于求每次测角的回波检测信噪比，但是因为实际工程中阵列接收到目标信号是和背景噪声混在一起的，所以
无法直接获得，只能通过近似来获取。在信噪比足够大时，接收机中的噪声可以忽略，因此可以用检测波束的接收信号功率与噪声功率的比值来近似检测信噪比，即有
为利用检测波束对第i次快拍数据进行波束形成后的幅度值，接收机的噪声功率
在统计学上可以用平均功率来代替，在实际工程中，可通过雷达在休止期的采样平均值来估计噪声功率。当信噪比较小时，接收机中的噪声不可忽略，但此时在实际工程中没有更好的方法来近似信噪比，所以依然采用上面近似，虽然近似误差较大，但是仍然可以对测角精度带来一定的提升。
至此，可得到最优融合权值：
m=1,2,…,M
(17)
对多次快拍的测角结果进行加权融合，得到最终的角度估计值
从式(16)可以看出，本算法中的权系数是由每一次快拍的雷达信号载频和检测信噪比来决定的，该加权融合方式物理意义明确，信噪比越大的快拍数据对应的角度测量值可靠性越高，因此权重越大。本方法充分挖掘出了多次快拍数据的有效信息，并对其进行综合利用，因此可以明显提高测角精度，且在信噪比很低的情况下测角精度依然能得到一定的提升。
3 计算机仿真
为了验证文中方法的有效性，作如下仿真。
仿真参数：假设回波信号模型为SwerlingⅡ或Swerling Ⅳ，阵列结构为均匀线阵，阵元个数N=16，阵元间距d=0.05 cm，初始载频f0=3×109 Hz，任意两次快拍数据的载频频差为15 MHz，目标角度为10°，蒙特卡洛实验次数为1 000次，噪声功率采用长度为2 000的实际样本进行估计。
实验1：积累快拍数为10，信噪比变化区间为-6～12 dB，分别利用二进制积累、非相干积累和最优融合的方法对目标角度进行估计，当回波模型为SwerlingⅡ时，得到3种方法均方根误差随信噪比变化的对比图如图1所示，当回波模型为Swerling Ⅳ时，3种方法均方根误差随信噪比变化的对比图如图2所示。
图1 RMSE随信噪比变化图(SwerlingⅡ模型)
图2 RMSE随信噪比变化图(Swerling Ⅳ模型)
实验2：单次快拍阵元信噪比为-5 dB，积累快拍数变化范围为1～10，分别利用二进制积累、非相干积累和最优融合的方法对目标角度进行估计，当回波模型为Swerling Ⅱ时，可得3种方法的均方根误差随积累快拍数变化的对比图如图3所示，当回波模型为Swerling Ⅳ时，3种方法的均方根误差随积累快拍数变化的对比图如图4所示。
图3 RMSE随快拍数变化图(Swerling Ⅱ模型)
图4 RMSE随快拍数变化图(Swerling Ⅳ模型)
由图1、图2可以看出，随着信噪比的增大，3种方法的测角均方根误差都逐渐减小，即测量精度随着信噪比的增大而提高，但是最优融合方法的测角误差始终最小，即使在信噪比较小时，该方法依然是有效的。由图3、图4的对比可以看出，当只有单次快拍时，3种方法是等效的，但是只要积累快拍数为多次(大于一次)时，最优融合方法的测角精度就高于另外两种方法。
4 结束语
本文提出了一种频率捷变相控阵雷达最大似然测角方法，该方法利用最优融合的思想充分有效地将多次不相关的快拍数据积累起来，提高了频率捷变相控阵雷达的测角性能，即使在信噪比较低的情况下测角精度也能得到一定程度的提升。仿真结果表明，此方法具有一定优越性，对频率捷变相控阵雷达测角的工程实现有一定的指导意义。
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