0 引言
中远距空空导弹的典型制导模式是复合制导，导弹采用捷联惯导加无线电指令修正中制导和主动雷达末制导的复合制导体制。在中末制导交接过程中，导弹可靠截获目标是导弹击中目标的前提和关键，因此，导弹截获概率是一个重要设计指标。文献[1]利用蒙特卡罗法对协同制导条件下的目标截获概率进行研究分析。蒙特卡罗法通过对模型进行大量仿真运用统计分析法计算目标截获概率，此方法的缺点在于需要完整的仿真模型和巨大的计算量。对此，文献[2]分析了影响截获概率的主要误差源，将各误差考虑为正态分布，给出了导弹截获概率计算模型。文献[3]将各误差转化为导弹位置散布和偏差，最终通过解算可截获目标的导弹分布区域与实际分布区域的相交面积完成截获概率计算。文献[4]从纯理论角度建立了截获概率计算模型，并利用所建模型分析了误差因素影响权重。
以上文献在计算主动雷达型空空导弹截获概率时，未考虑在导弹中末制导交接过程中，导引头开机预置天线角度与导弹允许截获并不在同一时刻，因此计算结果不可避免地包含了此段时间间隔造成的误差。因此，本文针对这一问题建立了一种截获概率估算模型，以期获得准确性更高的截获概率估算结果。
1 中末制导交接分析
在主动雷达型空空导弹的中制导段[6]，载机每隔一段时间便通过数据链将目标运动参数发送给导弹。在两组数据链周期间隔内，导弹对目标位置进行线性外推，并加上载机在上一数据链周期发送的目标加速度补偿。假设载机数据链周期为D(D的单位为秒/帧)，导弹在t1时刻接收到一组目标指示信息(t1=k×D，k∈z)；之后在t2时刻(t2-t1<D)，导弹判断将要进入导弹允许截获距离时，导引头根据飞控组件传送的目标角度指示信息和弹目视线角速度信息进行导引头天线角度预置；然后在t3时刻，导引头接收到飞控组件的“允许截获”指令后进行目标截获。导弹导引头预置的天线角度为
(1)
式中，αMT为导引头在t2时刻预置的天线角度；α0和
分别为飞控组件在t2时刻向导引头传送的目标指示信息和弹目视线角速度信息(此时在导弹外推的基础上进行火控解算)；t3-t2为导引头预置天线角度与允许截获的时间间隔。
图1中，M1为t1时刻导弹的定位位置；T1为t1时刻目标的指示位置；M2为t2时刻导弹的定位位置；T2为t2时刻目标的指示位置；Te为t2时刻导引头天线角度预置方向；M3为t3时刻导弹的定位位置；T3为t3时刻目标的指示位置；M3r为t3时刻导弹的真实位置，T3r为t3时刻目标的真实位置；ε为t3时刻导引头天线与真实弹目连线的夹角。以上位置、角度信息均为弹载惯性系下的坐标信息。
图1 中末交接流程示意图
t3时刻，若目标落入导引头视场角内，弹目真实距离达到允许截获距离，同时弹目真实接近速度对应的多普勒频率落入导引头多普勒滤波器的带宽内，则导引头可截获目标。即可靠截获需要满足距离、角度、速度截获。设其三者为Px，Pa，Pv，则截获概率P为
P=Px×Pa×Pv
(2)
本文主要研究距离与角度截获，令
(3)
式中，Lmax为导引头截获距离，α为导引头开机视场角。其中，
(4)
式中，TRCS为目标的雷达反射面积，L0为当目标雷达反射面积等于TRCS 0时的截获距离。在当前的技术参数中，TRCS 0=5 m2。
2 截获概率模型建立
2.1 主要误差源分析
根据中末制导交接的信息处理流程，影响截获概率的主要误差源有[7]：载机与导弹传递对准误差；目标机动误差；导弹外推导致目标位置估计误差；载机雷达指示误差；导弹空间定位误差。
在当前研究中，普遍认为导弹和目标在空间中服从正态分布，因此对分布的特征值展开研究。1)、2)误差会引起目标指示位置偏差，3)误差会引起目标指示位置散布，4)误差会引起导弹定位位置散布。
1) 载机与导弹传递对准误差
弹载捷联惯导的初始化在导弹发射前，由载机对其装订。初始对准误差使载机与导弹的惯性系不完全一致，因此目标指示存在偏差。
设载机惯性系nf与导弹惯性系n间存在失准角ψE，ψN，ψU，令n系至nf系的变换矩阵为
则目标在n系下的坐标T为
(5)
式中，
(6)
2)目标机动和导弹外推导致目标位置估计误差
在两组数据链周期间隔内，目标作逃逸机动，导弹对目标位置进行线性外推，并加上载机在上一数据链周期发送的目标加速度补偿，因此对目标位置估计存在偏差。
如图2所示，目标在A点速度矢量为VT，加速度矢量为aT，此时目标在VT，aT平面内做过载为|aT|的盘旋机动。而载机根据前期数据计算的目标加速度补偿为a补，则Δt时间后，导弹估计目标运动至C点，实际导弹运动至B点。
图2 导弹外推误差示意图
设旋转轴k为垂直于VT,aT且过A点的单位向量，可表示为
(7)
向量AO可表示为
(8)
则向量AB可由AO绕k旋转角度
并进行伸缩得到。根据罗德里格旋转公式，AB可表示为
(9)
式中，
(10)
式中，E为三阶单位矩阵。
因此，可求得向量CB为
(11)
3) 载机雷达指示误差
载机雷达指示误差引起的目标指示位置散布服从三维正态分布，其概率密度可写为
(12)
式中：XT为弹载惯性系下坐标原点至目标位置测量点的向量；μT为目标在弹载惯性系下的指示位置散布中心，受传递对准误差影响，
为目标在弹载惯性系下的真实位置；BT为目标指示位置的误差协方差矩阵，由载机雷达探测性能决定。
4) 导弹空间定位误差
导弹空间定位误差来源于由陀螺误差与加速度计误差，引起的导弹定位位置散布服从正态分布，其概率密度可写为
(13)
式中：XM为弹载惯性系下坐标原点至导弹定位位置点的向量；μM为导弹在弹载惯性系下的定位位置散布中心，μM=Mr，Mr为导弹在弹载惯性系下的真实位置；BM为导弹定位位置的误差协方差矩阵，由弹载捷联惯导系统性能决定。
2.2 截获概率模型
根据2.1节分析，t3时刻，目标指示位置T3在弹载惯性系下的分布概率密度为
f(XT3)=
(14)
式中，μT3为t3时刻目标在弹载惯性系下的指示位置散布中心，BT3为t3时刻目标指示位置的误差协方差矩阵。
因为在(t1，t3)时间内导弹对目标位置进行外推，所以
(15)
式中，T3r为t3时刻目标在弹载惯性系下的真实位置；ΔX3根据式(7)、(8)、(9)、(10)、(11)求得，计算过程代入t1时刻载机测量的目标速度VT1和加速度aT1，t1时刻载机计算的目标加速度补偿ae1以及t1至t3时刻的时间间隔t3-t1；BT3为t3时刻目标指示位置的误差协方差矩阵。
t3时刻，导弹定位位置M3在弹载惯性系下的分布概率密度为
(16)
式中：μM3为导弹在弹载惯性系下的定位位置散布中心，μM3=M3r，M3r为导弹在弹载惯性系下的真实位置；BM3为导弹定位位置的误差协方差矩阵。
根据正态分布的性质，导弹和目标在弹载惯性系下的相对指示位置分布概率密度为
f(XMT3)=
(17)
式中，
(18)
在实际飞行中，t3时刻导弹在已知弹目相对指示位置MT3的情况下进行截获，此时可反向考虑弹目实际相对位置的分布：
f(XMT3r)=
(19)
式中，
(20)
t3时刻，导引头天线与真实弹目连线的夹角ε为
(21)
则截获概率的表达式为
(22)
式(22)无法求解出解析表达式，可通过仿真软件生成n组服从式(19)分布的随机数据，并求出数组中满足条件的数据个数，用其在数组长度中的占比代替Px。
3 截获概率模型应用
3.1 误差估计
1) 载机雷达指示误差估计
载机雷达通过探测与目标的距离和方位角确定目标位置参数，目标在nf系下的坐标可表示为
(23)
式中，L为载机雷达与目标的探测距离，H为载机雷达高度探测值，θ为目标俯仰角探测值，φ为目标方位角探测值。
设雷达测距精度为δL(1σ)，测高精度为δh(1σ)，测角精度为δα(1σ)，则估算目标指示位置的误差协方差矩阵为
(24)
2) 时间间隔估计
导弹在t2 s判断将要进入截获距离，设载机数据链周期为D，则估算t2-t1服从[0,D]均匀分布。t3时刻进行导引头天线角度预置，估算t2服从[1,2]均匀分布。
3) 传递对准误差估计
根据文献[8]，估计ψE=ψN=ψU=5′。
4) 导弹空间定位误差估计
因为惯导误差具有累积效应，所以误差方差随着时间增大。设导弹单位时间内定位精度为σMi(1σ)，则估算导弹定位位置的误差协方差矩阵为
(25)
根据文献[9]，设σMi=0.35 m/s。
3.2 截获概率估算模型使用方法
建立弹道模型，并嵌入本文所建的截获概率估算模型。计算过程为：①在t3时刻，读入计算式(19)、(21)所需的导弹飞行实时探测数据以及3.1节的估算数据；②按式(24)、(25)计算 BT3，BM3，并在此基础上计算BMT3；③按式(19)计算μMT3r，BMT3r；④按式(22)计算截获概率Px。
4 仿真分析
4.1 截获模型估算精度分析
以某型空空导弹为例，引入其仿真参数。条件为：设目标的雷达反射面积为5 m2，导引头视场角α设为10°。在中制导初始时刻，载机在惯性系中的坐标为(0 m,15 000 m,0 m)，目标在惯性系中的坐标为(50 000 m,15 000 m,1 000 m)，飞行速度均在对应高度的1.1 Ma；导弹在惯性系中的坐标为(1 200 m,15 000 m,0 m)，飞行速度在对应高度的1.8 Ma；导弹初始弹道倾角与弹道偏角均设为0；飞行过程中，载机在与导弹通信范围内飞行，目标作4g逃逸机动；数据链周期D设为1 s；仿真步长为0.1 s；计算式(22)时取n=100 000。
在10次弹道计算中，得到数据如表1所示。
表1 导引头开机时弹道计算数据
序号t3/sMT3/m预置角αMT/rad截获概率Px/%145.716034(0.7926,1.5819,0.7783)99.478245.716500(0.7812,1.5555,0.7898)99.469344.116887(0.7850,1.5670,0.7858)99.475445.416936(0.7703,1.6058,0.8017)99.474545.716119(0.7983,1.5550,0.7728)99.473645.216926(0.7598,1.5813,0.8111)99.464745.316953(0.7540,1.6156,0.8188)99.471845.716444(0.7843,1.5787,0.7865)99.463945.716007(0.7801,1.5862,0.7909)99.4751045.716488(0.7885,1.5961,0.7829)99.476
注:αMT表示预置角在弹载惯性系下与各坐标轴的夹角。
采用蒙特卡罗法进行弹道仿真求取导弹截获概率，为得到与表1同等数量级的计算结果，进行100 000次弹道仿真，仿真求得的截获概率为99.472%。
图3所示是使用蒙特卡罗法仿真得到的结果与表1数据的对比，观察可得，本文所建模型的仿真计算结果较为均匀地分布在蒙特卡罗法计算结果两侧，且二者残差数量级在10-3以内，因此可认为模型计算准确性达到工程计算要求。
图3 蒙特卡罗法与模型计算结果对比图
在仿真过程中插入测试程序运行时间指令可得，本文所建模型进行一次仿真平均耗时约为2.43 s，而进行100 000次蒙特卡罗仿真需耗时48 376 s，约为13.44 h，可见本文建立的模型在运行时间上的优越性。文献[3]建立了一种概率估算模型并利用蒙特卡罗法进行验证，文中截获概率估算结果与蒙特卡罗法计算结果残差数量级为10-2，对比本文截获概率估算结果与蒙特卡罗法计算结果残差数量级，可认为本文所建模型的仿真计算结果具有更高的精度。
4.2 影响截获概率因素分析
采用本文所建模型对影响截获概率的误差因素展开研究，以4.1节仿真条件作仿真参数基准值，在对某一项误差因素进行研究时，单一改变该误差因素值，其余误差因素沿用参数基准值。具体研究方法为：设某误差因素参数基准值为x，依次设置误差因素参数值为x，1.5x，2x直至10x，共进行19组仿真实验。
1) 测距精度δL与截获概率关系分析
如图4所示，当δL增大时，导弹截获概率随之提升。当δL在400 m至1 400 m时，测距精度对导弹截获概率的影响很小，截获概率下降幅度不足0.5%；当δL从1 600 m增大至2 200 m时，导弹截获概率开始缓慢下降，但下降速度逐渐增大；当δL从2 400 m增大至4 000 m时，导弹截获概率下降速度最快，大致呈线性变化。
图4 测距精度与截获概率关系图
2) 测角精度δα与截获概率关系分析
如图5所示，当δα增大时，导弹截获概率随之下降。当δα在0.004 rad至0.008 rad时，导弹截获概率开始缓慢下降；当δα从0.01 rad增大至0.02 rad时，导弹截获概率下降速度最快，大致呈线性变化，从89.731%下降至57.135%；当δα从0.022 rad增大至0.04 rad时，导弹截获概率继续下降，但下降速率持续变缓。
图5 测角精度与截获概率关系图
3) 测高精度δh与截获概率关系分析
如图6所示，当δh增大时，导弹截获概率随之下降。当δh在100 m至350 m时，测高精度对导弹截获概率的影响很小，截获概率缓慢下降；当δh从400 m增大至700 m时，导弹截获概率下降速率持续增大；当δh从750 m继续增大至1 000 m时，导弹截获概率下降速率变缓，最终跌至81.867%。
图6 测高精度与截获概率关系图
4) 数据链周期D与截获概率关系分析
如图7所示，当D增大时，导弹截获概率随之下降。当D在1 s至5 s时，导弹截获概率迅速下降，且下降速率持续增大；当D从5 s继续增大时，导弹截获概率经过略微缓冲后跌至0。
图7 数据链周期与截获概率关系图
将各仿真结果间在横向上进行对比，显然，数据链周期以及测角精度对截获概率的影响最为显著。
5 结束语
本文在研究复合制导空空导弹截获概率过程中，考虑了导引头预置天线角度与导弹允许截获不在同一时刻问题，根据导弹截获目标算法，分析了截获流程与截获条件，建立了截获概率估算模型。仿真结果表明，此模型可在一次弹道计算中解算导弹截获概率，大大减少了蒙特卡罗法的计算量，缩短计算时间，且计算精度较目前已有文献高。采用控制变量法对影响截获概率因素进行分析，仿真结果表明载机数据链周期和测角精度对导弹截获概率影响最为显著。
[1] 雷宇曜,姜文志,朱伟,等.多平台对AAM协同制导交接班模型[J].指挥控制与仿真,2015,37(1):45-49.
[2] 樊会涛.复合制导空空导弹截获目标概率研究[J].航空学报,2010,31(6):1225-1229.
FAN Huitao. Study on Target Acquisition Probability of Air-to-Air Missiles with combined Guidance[J]. Acta Aeronautica Et Astronautica Sinica,2010,31(6):1225-1229.(in Chinese)
[3] 张大元,雷虎民,李海宁,等．复合制导导引头开机截获概率估算[J].固体火箭技术,2014,37(2):150-155.
[4] 刘少波,赵良玉.超视距防空导弹中末制导交接班时的目标捕获概率研究[J].固体火箭技术,2016,39(5):723-728.
[5] 李海军,陈育良,姜涛,等.航空导弹飞行与发射控制[M].北京:国防工业出版社,2015.
[6] 吕振瑞,任宏光,王涛.直升机载空空导弹射后截获误差源研究[J].弹箭与制导学报,2017,37(1):169-172.
LYU Zhenrui, REN Hongguang, WANG Tao. Study on Error Source of Lock-on After Launch of Helicopter Borne AAM[J]. Journal of Projectile, Rockets, Missiles and Guidance,2017,37(1):169-172.(in Chinese)
[7] 陈阳,储海荣,郭立红.捷联导引头积分比例导引制导精度[J].红外与激光工程,2016,45(6):298-303.
[8] 司宏源.超视距空空导弹导航精度分析及误差分配技术研究[D].上海：上海交通大学,2012.
[9] 肖冰松,方洋旺．双机协作发射与制导中程空空导弹技术研究[J]．电光与控制,2011,18(2):13-17.
