0 引言
相控阵技术现已得到十分广泛的应用，但相控阵存在不能有效控制发射波束距离指向的问题。2006年，FDA阵列作为一种距离-角度二维相关波束形成技术由Antonik在雷达会议上首次提出[1]。与相控阵雷达(Phased Array, PA)通过移相器在阵元间引入固定相位差的电扫描方式不同，FDA阵列通过在阵元间引入一个相比载频而言大小可忽略的固定频偏实现了具有更高自由度的时间-距离-角度三维相关波束指向[2-4]。随着FDA研究的深入，涌现出大量基于一维均匀线性FDA阵列(Uniform Linear Array FDA, ULA-FDA)的研究文献[5-10]。文献[2]综述了近年来的FDA阵列研究现状，其中方向图的距离-角度解耦以及波束的非时变特性都是研究的重点。文献[11]针对FDA方向图的时变特性提出了一种TDFO-FDA阵列结构，阵元间的频差采用线性递增方式，推导出了形式简单的时变频偏表达式，能够在空间中形成非时变的波束指向，但文中未考虑FDA方向图固有的距离-角度耦合问题。文献[12]将log-FDA阵列与TDFO-FDA结构在固定时刻的能量集中特性进行了对比分析，log-FDA阵列能够消除方向图耦合，但其波束在角度维上有较长的拖尾，同时也不具备非时变的波束指向。综上，基于解耦的非时变波束形成技术在消除耦合、降低旁瓣以及增强回波能量等方面都有着巨大的研究价值。
本文第1节中对ULA-FDA的阵列结构及其时变特性展开分析。第2节分析了文献中提出的线性增量-时变频偏表达式。第3节中首先对文献中的线性增量-时变频偏表达式进行推广，之后针对无法得到固定时变频偏表达式的log-FDA及sin-FDA阵列，将问题转化为最优化问题通过遗传算法进行求解，通过在约束条件中添加时间约束得到主瓣增强旁瓣抑制的FDA非时变解耦方向图。最后，仿真验证了本文方法的有效性。
1 数据模型
图1所示为ULA-FDA阵列的基本结构[1]。
图1 ULA-FDA阵列基本结构
设载波频率为f0，阵元n的辐射信号频率为
fn=f0+nΔf, n=0,1,2,…,N-1
(1)
窄带条件下，阵元n的发射信号可表示为
sn(t)=exp(j2πfnt), n=0,1,…,N-1
(2)
阵元n发射的信号到达远场观测点(R,θ)的信号表达式为
(3)
式中，rn=R-ndsinθ，R为参考阵元到目标点的距离，d为阵元间距。一般地，阵元n与阵元n-1发射的信号传播到远场观测点(R,θ)时所形成的相位差为
(4)
当Δf=0时
阵列退化为传统的相控阵。式(4)中的第一项表示阵元信号在观测点处的相位差，这是由阵元间传播距离差引起的；第二项表明Δψ是时间的函数，针对FDA方向图特性研究的文献中多取t=0 s，以研究静止状态下的FDA特性；第三项表明Δψ与距离R及频偏Δf相关，这一项是FDA辐射方向图具有距离相关性的基础；由于f0≫N·Δf，第四项在运算中经常可以忽略。综上所述，式(4)可简化为
Δψ≈
Δψ1+Δψ2
(5)
式中，Δψ1=2πΔft为两相邻阵元初始信号因脉宽产生的时变相位差，
为电磁波传播过程中由于频差及波程差造成的相位差，该相位差与距离、角度呈线性关系。
窄带条件下，ULA-FDA在远场观测点(R,θ)处的阵列因子AF(t,R,θ)为
AF(t,R,θ)=
(6)
FDA阵列通过在阵元间引入固定频差，在不需要移相器的情况下可以实现灵活的电扫描。通常取t=0 s对FDA静态方向图展开分析，满足式(7)时FDA阵列因子取得最大值：
l=0,±1,±2,…
(7)
由式(7)可得FDA阵列的时间、距离及角度周期性计算公式：
(8)
(9)
(10)
图2 FDA方向图距离维周期性
图3 FDA方向图时间维周期性(Δf=4.5 kHz)
图2、图3分别仿真了FDA发射方向图的距离维及时间维周期特性，仿真参数如表1所示。图2、图3中FDA的波束图存在多值性问题，这是由于FDA阵元间的均匀线性频偏增量Δf与阵元间距d的线性递增同步导致的距离-角度耦合所引起的。由图2可知，当距离R和角度θ固定时，方向图的最小周期为1/Δf。由图3可知，当时间t和角度θ固定时，方向图的最小周期为c/Δf。在一个脉冲周期内，照射在目标位置处的波束会随着时间的变化而产生角度和距离上的偏移，这就使得经二次反射回到雷达接收机的回波能量较低，影响输出SINR。为了实现FDA波束能量控制等进一步的研究，首先需要得到解耦的非时变FDA方向图。
表1 仿真参数
参数数值FDA阵元数10载频10GHz阵元间距dc/2f0目标位置(R,θ)(50km,20°)
2 频偏设计
2.1 线性增量-时变频偏
为使FDA波束在脉冲周期内非时变地照射目标(R0,θ0)，文献[11]得出目标参数相关的时变频偏增量表达式：
(11)
取l=1，将式(6)改写为
AF(t,R,θ)=
(12)
2.2 非线性频偏
本节中针对4种不同的非线性频偏增量对比分析其距离-角度二维联合估计效能，为后续进一步基于非线性频偏选择的相关研究奠定基础。假设有L个目标，经匹配滤波得到的阵列接收信号可表示为[13]
x(θ,r,τ)=
n(θ,r,τ)
(13)
式中，αl表示目标反射系数，n表示高斯白噪声，a表示导向矢量，wu=a表示接收权矢量。当目标位置确定时，时延τ可通过目标方位角θ及斜距r确定，式(13)可进一步表示为
(14)
式中，
(15)
(16)
计算接收信号协方差矩阵：
Rx=E{x(θ,r)xH(θ,r)}=
(17)
式中，
表示噪声均方差，I为单位阵。
(18)
之后对协方差矩阵进行特征值分解并按照特征值大小的顺序排列，将与信号个数相等的n个特征值对应的特征向量视为信号子空间，其余特征向量看作噪声子空间，最后根据式(19)计算谱函数峰值。
(19)
图4为当目标位于(0°,500 km)时采用4种不同非线性频偏增量FDA阵列的MUSIC谱，可知在4种非线性函数形式的频偏中正弦函数及对数形式的偏增量结构具有明显的性能优势，所以本节考虑在将对数及正弦函数形式的非线性频偏引入阵列。
图4 MUSIC谱(θ0=0°，r0=500 km)
3 基于遗传算法的非线性增量-时变频偏
采用非线性频偏的ULA-FDA阵列，阵元n的载频为
fn=f0+Δfn, n=0,1,2,…,N-1
(20)
阵元n距离远场观测点(R,θ)的距离为
rn=R-dnsinθ, n=0,1,2,…,N-1
(21)
式(6)表示的阵列因子可改写为
AF=
(22)
取
考虑通过使y取最大而得到一个时变频偏的表达式：
(23)
当φn-φm=2kπ,k=0,±1,±2,…时y取得极大值：
(24)
取Δfn=nxΔf(t),dn=nxd得
Δf(t)=
k=0,±1,±2,…
(25)
取k=nx-mx即可得到与时间及目标位置参数相关的时变频偏表达式，x=1时即得文献[11]中的线性增量-时变频偏表达式，x取-1、2和3可分别得到倒数、平方以及立方的非线性增量-时变频偏表达式。由式(17)得
(26)
(27)
将式(26)、(27)代入式(16)可得
(28)
(29)
考虑到k为整数的约束，无法通过式(26)、(27)得出log-FDA和sin-FDA时变频偏的一个固定表达式，因此考虑将解算时变频偏转化为最优化问题。对脉冲持续时间进行小间隔采样，通过遗传算法得到每一个时刻各阵元频偏的最优解，当间隔足够小时，近似得到sin-FDA及log-FDA的非时变方向图。在通过最优化问题解算非线性-时变频偏的约束条件中，除了对目标位置处能量的约束之外，还可以添加旁瓣最小的约束条件，从而在得到非时变方向图的同时实现距离-角度解耦。
对采用非线性频偏的ULA-FDA阵列，由式(22)得
(30)
如图5所示，将波束扫描的距离-角度二维空域划分成目标位置E及旁瓣抑制区ABCD[10]。
图5 目标函数距离-角度空域划分
基于固定频偏的ULA-FDA阵列发射方向图在空间中存在着距离-角度耦合[13]，为了得到解耦的方向图，文献中提出了对数形式的频偏增量，但log-FDA方向图存在较长的拖尾。
为了得到期望的非时变解耦方向图，将问题转化为如下的凸优化问题：
(31)
目标函数的取值是在波束指向非时变的情况下，在使目标位置处能量最强的同时，旁瓣区域能量总和最低的频偏。约束条件中Δfmin≤Δfn≤Δfmax是为了保证系统总体的带宽在特定范围内；约束(R,θ)∈(A,B,C,D)是为了将区域定义为旁瓣区域；约束|AF(t,R0,θ0)|2=1是为了在目标点处得到非时变的波束指向；Tp为脉冲持续时间。为了减少算法复杂度从而降低系统的实现难度，采用遗传算法求解式(12)所示的凸优化问题。设总的遗传代数为G，M为每一代的个体总数，遗传算法步骤如下，算法流程图如图6所示。
1) 时间采样，取脉冲持续时间Tp=0.1 ms，取采样间隔T=0.1 μs，将脉冲时间分为1 000份，对每一个时刻进行以下计算；
2) 初始化：设置初始种群代数g=0，以及最大遗传代数G，利用二进制编码随机从[Δfmin,Δfmax]范围得到M个个体作为初始群体 P(0)，每个个体由N个变量组成Δ=[Δf0,Δf1,…,ΔfN-1]；
3) 个体评价
计算个体对应的
大小，得到适应度函数值P(g)；
4) 选择运算
选择使得
最小的一组Δ；
5) 交叉变异运算：对群体中的个体串的某些基因上的基因值作交叉或变异，从而得到下一代群体P(g+1)；
6) 终止算法：若g=G，则结束循环得到当前时刻的频偏最优解
否则继续步骤3)，当遍历所有采样间隔后得到阵元n关于时间的最优解向量
其中n=0,1,…,N-1。
图6 遗传算法流程图
4 仿真验证
仿真1： 线性增量-时变频偏仿真。
图7 R=R0的发射方向图
图8 θ=θ0的发射方向图
图7、图8为ULA-FDA阵列采用线性增量-时变频偏的方向图，脉冲持续时间T=0.1 ms，目标位于(100 km,30°)，其余参数如表1所示。
由图7可知，固定距离参数时，仅在目标角度上可以形成主波束照射；由图8可知，固定角度参数时，指向目标距离位置的波束不会随时间偏移。但方向图中固有的距离-角度耦合仍未被消除。针对如何选择频偏从而改进FDA阵列性能的问题，文献[12]中得到log-FDA雷达只依赖距离的发射波束形成方法。文献[14]在每一个MIMO-FDA子阵中使用一个变化的对数频偏，消除了FDA波束图固有的周期性，形成MIMO-log-FDA阵列，在目标可能存在的空间中形成单极值。文献[15]中通过在均匀线阵阵元间采用平方及立方两种频偏增加方式消除了方向图中的距离角度耦合。因此，需要得到非线性增量-时变频偏的表达式。
仿真2： 基于解耦的非时变方向图仿真。
图9 sin-FDA非时变解耦方向图
图10 log-FDA非时变解耦方向图
(a) t=0 ms
(b) t=0.1 ms
图11 log-FDA非时变解耦方向图
通过与文献[12]中的log-FDA的对比仿真，验证本文方法的有效性。考虑一个具有20个阵元的ULA-FDA阵列，阵元间距d=c0/(4f0)，f0=10 GHz，Δfmax=10 kHz，Δfmin=-10 kHz，种群总代数G=100，个体数M=100，目标方位角θ0=30°，斜距r0=600 km，文献[12]中log-FDA阵列频偏δ=10 kHz。图9、图10为本文算法得到的sin-FDA、log-FDA的非时变解耦方向图，图11(a)、(b)为文献[12]log-FDA在t=0 ms以及t=0.1 ms的瞬时方向图。文献[12]中的log-FDA方向图主波束指向位置会随着时间而产生偏移，且其主瓣波束在角度维和距离维上都存在较长的拖尾。本文算法得到的sin-FDA、log-FDA在目标位置处可以形成非时变的解耦方向图，且其在目标位置处的能量更加集中，主瓣宽度更窄，具有更高的扫描精度，但本文所得到的方向图的旁瓣抑制效果有待进一步优化。如表2所示，基于遗传算法方法不仅最大旁瓣值更低，而且距离和角度的3 dB带宽也更加窄，当雷达波束扫描时，能够提高扫描的精度。
表2 对数频偏与本文结构性能对比
(θ,r)=30°,600km log-FDA基于遗传算法的FDA最大旁瓣值0.490.32距离带宽(3dB)590～613km597～602km角度带宽(3dB)18°～43°26°～34°
5 结束语
与相控阵不同，FDA方向图具有时间-距离-角度三维相关特性，这使其在具有距离相关干扰抑制能力之外，还存在着波束指向时变及距离-角度耦合的问题。如何得到一个解耦合的非时变方向图是实现FDA波束有效控制的基础，本文在推导时变频偏表达式的过程中，通过遗传算法解算最优化问题，得到采用非线性频偏的log-FDA及sin-FDA的非时变方向图，从而在解耦的同时实现了脉冲持续时间内的波束指向固定，但本文所得到的方向图的旁瓣抑制效果有待进一步优化。
[1] ANTONIK P, WICKS W C, GRIFFITHS H D, et al. Frequency Diverse Array Radars[C]∥Proceedings of the IEEE Radar Conference, Verona, NY:IEEE, 2006:470-475.
[2] 王文钦, 陈慧, 郑植,等. 频控阵雷达技术及其应用研究进展[J].雷达学报, 2018, 7(2):153-166.
[3] 许京伟, 朱圣棋, 廖桂生,等. 频率分集阵雷达技术探讨[J]. 雷达学报, 2018, 7(2):167-182.
[4] 陈小龙, 陈宝欣, 黄勇,等. 频控阵雷达空距频聚焦信号处理方法[J]. 雷达学报, 2018, 7(2):183-193.
[5] JONES A M. Frequency Diverse Array Receiver Architectures[D].Dayton, OH, USA:Wright State University, 2011.
[6] 许京伟. 频率分集阵列雷达运动目标检测方法研究[D].西安：西安电子科技大学, 2015.
[7] 高宽栋. 频控阵雷达阵列优化设计及其目标参数估计方法研究[D]. 成都：电子科技大学, 2018.
[8] 徐艳红. 新体制频率分集阵列天线距离/角度域波束研究[D].西安：西安电子科技大学, 2017.
[9] 王哲. 频控阵波束的距离角度依赖特性研究[D]. 成都：电子科技大学, 2018.
[10] 熊杰.频控阵发射波束形成及其应用方法研究[D].成都：电子科技大学, 2018.
[11] KHAN W,QURESHI I M. Frequency Diverse Array Radar with Time-Dependent Frequency Offset [J]. IEEE Antennas Wireless Propagation Letters, 2014,13:758-761.
[12] KHAN W, QUREAHI I M, SAEED S. Frequency Diverse Array Radar with Logarithmically Increasing Frequency Offset[J]. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2015, 14:499-502.
[13] 王博, 谢军伟, 张晶, 等. 基于非线性频偏的频控阵波束控制研究[J]. 北京理工大学学报, 2019, 39(3):153-166.
[14] KHAN W, QUREAHI I M, BASIT A, et al.Performance Analysis of MIMO-Frequency Diverse Array Radar with Variable Logarithmic Offsets[J].Progress In Electromagnetics Research C, 2016, 62:23-34.
[15] GAO Kuandong, WANG Wenqin, CAI Jingye, et al. Decoupled Frequency Diverse Array Range-Angle-Dependent Beampattern Synthesis Using Non-Linearly Increasing Frequency Offsets[J]. IET Microwaves,
Antennas & Propagation, 2016, 10(8):880-884.
