0 引言
由于辐射源的低空照射限制，外辐射源雷达的目标探测主要限制在低空区域，因此如何提高外辐射源雷达的低空目标仰角估计性能一直是外辐射源雷达目标定位与跟踪的重要研究课题，近年来众多国内外学者对低仰角目标波达方向(Direction of Arrival，DOA)估计问题进行了大量研究[1-3]。在经典的镜像信号模型中，目标和其镜像被建模为两个空间临近的相干点源，实现对目标仰角的精确估计实际是对两个空间临近相干源的超分辨问题[4]。常用的超分辨技术如多重信号分类(Multiple Signal Classification，MUSIC)算法不能直接应用于相干源，若要运用MUSIC算法，需要先用空间平滑法将原阵列分为多个重叠的子阵，进行解相干预处理，这种降维处理方法是以牺牲阵列孔径为代价的[5]。
为了弥补传统低仰角估计问题中阵列孔径的损失，本文考虑引入互质阵列(Coprime Array，CA)处理低仰角信号，因为互质阵列能够在使用相同个数物理阵元的情况下，实现更大的阵列孔径，降低了硬件的系统开销[6]。根据质数的性质，互质阵能够推导出一组由阵元位置差集信息构成的包含更多虚拟阵元的均匀线性阵列，从而实现阵列孔径的扩展。相比于现有的不具有系统化阵列结构的最小冗余阵列和最小孔洞阵列等稀疏阵列[7]，互质阵只需给定一对互质整数M,N就可以实现阵列的架构，阵列布设方案较为简单直观[8]。相比于稀疏均匀阵列，互质阵通过特有的阵列排布抑制了阵列方向图中多个栅瓣的产生，避免了测向模糊现象，提高了角度估计的可靠性。此外，由于实现了阵列孔径的扩展，互质阵在提高角度估计精度，分辨率和自由度方面相比于均匀线阵也具有更加优越的性能，同时还因为稀疏的阵列结构降低了天线间的互耦效应。而在低空目标波达方向估计领域，阵列的超分辨性能是一个主要的关注点，所以本文讨论的是互质阵相比于相同阵元数的均匀线阵(Uniform Linear Array，ULA)在分辨率方面的优势。
在互质阵列信号处理过程中，虚拟阵列构造方法通常用于处理非相干信号，本文讨论了低仰角镜像相干信号在虚拟阵列构造过程中的影响。文章首先在低仰角镜像模型中，论述了利用阵元位置差集对应的协方差统计量构造虚拟阵列的原理，推导了基于相干信号的虚拟阵列接收信号形式，然后以扩展互质阵列为例详细介绍了虚拟均匀线阵的构造过程，并通过理论分析与仿真结果展示了相干信号带来的影响，进而阐明了虚拟阵列法在低仰角镜像模型中的近似可行性。
1 外辐射源雷达低仰角镜像模型
影响外辐射源雷达低仰角估计效果的主要因素是多径效应的存在，在经典的镜像模型里，一般暗含两个客观条件：1)目标与其镜像相对于雷达的距离差很小，二者在同一个距离单元内，所以当探测低仰角目标时可认为直达路径信号与反射路径信号同时到达目标处并进行相干叠加。2)目标仰角为正，多径仰角为负，二者大致相等，目标仰角小于二分之一的俯仰维波束宽度[9]。将多径反射信号等效成与目标信号完全相干的点源，得到图1所示的经典镜像模型[10]。由于外辐射源雷达不主动发射信号，因此多径建模中通常只考虑接收多径，不考虑发射多径。
图1 理想情况下的多径传播模型
设互质阵天线是由M个各项同性阵元组成的线阵，第m个阵元与阵列参考点之间的距离为dm，空中只存在一个低空目标，θd和θr分别为目标直达波与多径信号的俯仰角。则t时刻第m个阵元接收到的数据为
xm(t)=[e-j2πdmsin(θd)/λ+εe-j2πdmsin(θr)/λ]s(t)+
nm(t)
(1)
式中，ε=ρe-j2πΔR/λ表示多径衰减系数，由镜面反射系数ρ和直达波信号与多径信号之间的波程差两部分决定。2πΔR/λ为目标直达波与多径反射波间因路程差引入的相位差，ΔR=2hrsin(θd)，hr是以阵列中心距离反射面高度的雷达架高，根据上述公式可以得到ε=ρexp(-j4πhrsinθd/λ)，多径衰减系数随仰角的变化而变化[11]。s(t)为信号复包络；nm(t)为第m个阵元接收到的噪声矢量，设该噪声为高斯白噪声，服从均值为0，方差为
的分布，且各阵元接收的噪声相互独立。
整个阵列在t时刻接收到的数据向量可表示为
x(t)=[x1(t),…，xm(t),…，xM(t)]T=
[a(θd),a(θr)][1,ε]Ts(t)+
n(t),t∈{t1,…,tL}
(2)
式中，L为快拍数，上标T表示矩阵的转置，a(θd)=[e-j2πd1sin(θd)/λ,…,e-j2πdmsin(θd)/λ,…,e-j2πdMsin(θd)/λ]T为目标直达波方向的阵列导向矢量，a(θr)为多径反射波方向的阵列导向矢量。
2 互质阵虚拟阵列构造
常规的互质阵列处理方法中，利用虚拟阵元位置与相关间隔一一对应的关系，将对应位置的协方差统计量作为虚拟阵列接收信号，构造虚拟均匀线阵。2.1节推导了在低仰角镜像模型中，基于相干信号协方差统计量得到的虚拟阵列接收信号形式，2.3节则以扩展互质阵列为例，讨论了相干信号在虚拟阵列构造过程中带来的影响，阐明了互质阵虚拟阵列法在低仰角镜像模型中的近似可行性。
2.1 基于低仰角镜像模型的虚拟阵列构造原理
L次采样快拍情况下，互质阵列接收信号的采样协方差矩阵估计如下[12]：
(3)
式中，
上标*表示求共轭。协方差矩阵
第i行第j列的元素可以表示成(i≠j)：
rij=
E[(e-j2πdisin(θd)/λ+εe-j2πdisin(θr)/λ)·
(ej2πdjsin(θd)/λ+ε*ej2πdjsin(θr)/λ)s2(t)]=
εε*e-j2π(di-dj)sin(θr)/λ+
ε*e-j2πdisin(θd)/λ+j2πdjsin(θr)/λ+
εe-j2πdisin(θr)/λ+j2πdjsin(θd)/λ)
(4)
根据低仰角信号模型中的暗含条件，目标仰角为正，多径仰角为负，二者大致相等，可知θd=-θr，代入复反射系数ε=ρexp(-j4πhrsinθd/λ)，上式括号中的后两项可化为
ε*e-j2π(di+dj)sin(θd)/λ+εej2π(di+dj)sin(θd)/λ=
ρej(2hr-(di+dj))2πsinθd/λ+ρe-j(2hr-(di+dj))2πsinθd/λ=
2ρcos((2hr-(di+dj))2πsinθd/λ)
(5)
所以式(5)最终可表示为
rij=
(6)
令
则
(7)
可以看到二阶统计量rij中的前一项rij_ULA具有与均匀线阵接收信号相似的结构，这也是在非相干信号处理中可将其视为等价虚拟线阵接收信号的原因。具体地，把二阶统计量rij作为互质阵列的等价虚拟线阵接收信号，虚拟阵元位置为di-dj，为此先矢量化互质阵列接收信号的采样协方差矩阵
即把矩阵按列依次堆叠形成一个新的矢量，计算对应的虚拟阵列等价接收信号：
(8)
vec(·)表示矢量化操作，根据相关间隔与虚拟阵元位置的对应关系，将阵元位置差集作为虚拟均匀线阵的阵元位置坐标，从z中提取对应位置的函数值作为虚拟阵列的接收信号。2.3节将给出一个具体的构造例示，并进一步讨论相干信号带来的Δrij项的影响。
2.2 互质阵列结构
根据2.1节所述的虚拟阵列构造方法，进而可以推出空间域的阵列结构排布。
2.2.1 简单互质阵列
简单互质阵列的结构如图2所示，由两个稀疏均匀线阵构成。第一个稀疏均匀线阵包含M个阵元，阵元间距为Nd；第二个稀疏均匀线阵包含N个阵元，阵元间距为Md；M和N为互质整数，假设M小于N，d为入射到互质阵列的目标信号半波长[13]。将两个子阵以首阵元重叠的形式进行线性叠加组合，因为M和N互质，所以除了首阵元外，其余阵元在空间中的摆放位置不会出现重叠情况，由此得到了包含物理阵元数目为M+N-1的互质阵列，最后一个阵元的位置是(N-1)Md。
图2 简单互质阵列结构
将首阵元作为参考阵元，位置设为0，则两个子阵的阵元位置差集可以表示为
{(Mn-Nm)d,0≤n≤N-1,0≤m≤M-1}
(9)
根据上式，我们用M+N-1个阵元构造了一个位于[-N(M-1),M(N-1)]范围的差联合阵列，但它们在这个范围内因为存在孔洞，所以多数情况下是不连续的。例如M=3,N=4时，差联合虚拟阵列结构如图3所示，在-7d,7d的位置出现了孔洞。
图3 M=3,N=4虚拟阵列位置示意图
MNd MNd2.2.2 扩展互质阵列
扩展互质阵列结构如图4所示，就是将图2中子阵1的阵元数目增加一倍，从M增加到2M个，子阵2不变，得到一个阵元数目为2M+N-1的扩展阵列。之所以这样设定阵元数目，是利用了质数的性质。
图4 扩展互质阵列结构
引理1[14]：假设M和N是互质整数且M<N。给定一个整数k在0≤k≤MN范围，存在整数0≤n≤N-1,0≤m≤2M-1使k=Nm-Mn成立。
根据这个引理，m和n在上述范围内变化时，我们可以得到-MN≤k≤MN范围内的连续的所有整数。跟虚拟阵列的构造相结合，也就是用2M+N-1个物理阵列构造了阵元数目为2MN+1的虚拟均匀线阵，虚拟均匀线阵位置排布如下式所示：
Loc2M,N={-MNd,-(MN-1)d,…,
-d,0,d,…,(MN-1)d,MNd}
(10)
2.3 扩展互质阵列的虚拟均匀线阵构造
根据2.1节的结论，我们将二阶统计量作为互质阵列的等价虚拟域信号，根据相关间隔与虚拟阵元位置的对应关系，将阵元位置差集Loc2M,N作为虚拟均匀线阵的阵元位置坐标，从Rxx中提取对应位置的函数值构成列向量作为虚拟阵列的接收信号。以M=3,N=5的扩展互质阵列为例，构造一个位于[15d,15d]的虚拟均匀线阵。物理阵元的位置分布如表1所示，图5是以-15d位置处的虚拟阵元为例，物理阵元与虚拟阵元间的对应关系示意图，虚拟均匀线阵部分位置阵元的接收信号如表2所示。
表1 扩展互质阵阵元位置
阵元编号物理位置d10d23dd35dd46dd59d阵元编号物理位置d610dd712dd815dd920dd1025d
图5 物理阵元与虚拟阵元对应关系示意图(以-15d位置处的虚拟阵元为例)
表2 虚拟均匀线阵部分阵元位置的接收信号
位置差对应的协方差矩阵元素-15dr18+r39+r6,103-14dr49-13dr7,10-12dr17+r282-11dr59-10dr16+r38+r69+r8,104
由于虚拟阵列中的同一个阵元位置可能对应多个物理阵元位置差组合，也就是对应多个函数值，为了充分利用接收到的信息，我们将对应相同虚拟阵列阵元位置的函数值进行求平均操作来去冗余，得到一个分布于[-MNd,MNd]之间的虚拟均匀线阵的等效单采样快拍信号矢量
根据2.1节相干信号协方差矩阵元素的公式，将
中每个位置的接收信号看成由rij_ULA项和Δrij项线性组合而来，得到两个矢量
和
是虚拟均匀线阵的接收信号，
是相干信号带来的多余项。则表示成：
(11)
计算和
的相关性如图6所示。
图6 相关系数随仰角变化
由于低仰角镜像模型的隐含条件，目标仰角小于二分之一的俯仰维波束宽度，对于10个阵元的扩展互质阵列，俯仰维半波束宽度为8.5°，所以文中令仰角扫描范围为0°～8°。由rij_ULA和Δrij的表达式可知，和的相关系数主要与仰角相关，从图6可以看出相关系数随仰角大致呈准周期性变化，在0°～8°时绝对值都控制在0～0.6之间。基于此，我们认为和在低仰角0°～8°的环境内是弱相关或不相关的，于是相干信号带来的多余项可以看做虚拟阵列接收的噪声项，接收信号可以近似作为虚拟均匀线阵的接收信号。由此可得，互质阵虚拟阵列构造法在低仰角镜像模型中近似可行。
3 基于虚拟均匀线阵的空间平滑算法
因为相当于虚拟阵列的等效单采样快拍信号，所以由直接计算而来的协方差矩阵是单秩的，需要先利用空间平滑算法[15]，恢复虚拟阵列协方差矩阵的秩，然后通过MUSIC算法分辨并估计出目标信号和镜像信号的到达角。
将虚拟阵列划分成MN+1个子阵，每个子阵的阵元数目为MN+1个，第i个子阵的阵元位置为{(-i+1+n)d,n=0,1,2,…,MN}，空间平滑法示意图如图7所示。
图7 空间平滑原理示意图
对MN+1个子阵对应的协方差矩阵求平均得到Rss，我们叫它空间平滑矩阵，数学上可表示为
(12)
式中，Ri表示第i个子阵列的协方差矩阵。根据文献[16]给出的定理，描述了四阶统计量和二阶虚拟阵列协方差矩阵之间的关系，令Λ为对角矩阵，对角线上是入射信号功率，I是(MN+1)×(MN+1)维的单位矩阵，空间平滑矩阵可以表示成如下形式：
(13)
矩阵
式中A11是第一个子阵的导向矢量。
和第一个子阵的协方差矩阵具有相同的形式，噪声子空间相同，对进行特征值分解，可以得到第一个子阵的噪声子空间，然后对第一个子阵应用MUSIC方法，估计低空目标的到达角。
4 仿真结果
为了展示MUSIC算法的分辨率性能，定义角度实现分辨并成功估计的条件如下：
1)令
其中，M是阵元数，a(θ)是该方向的信号导向矢量，nk是噪声子空间矩阵。则角度分辨率的判断条件[17]如下：
(14)
式中，θk,k=1,2为两个信号的到达角度，θm=(θ1+θ2)/2。
2)定义当估计值与仰角真实值差的绝对值小于1°时，角度估计成功[18]。
当以上两个条件同时成立时，我们认为角度分辨成功，定义分辨成功的概率计算如下：
分辨成功概率
(15)
仿真条件：垂直放置的互质阵和均匀线阵，阵元数相同，数目为10个。互质阵是扩展互质阵列，子阵1，阵元间距为5d，阵元数目为6个；子阵2，阵元间距为3d，阵元数目为5个。均匀线阵阵元间距d，d为半波长。天线架高hr=10 m，若地势较为平坦，低仰角情形下的镜面反射系数ρ可假设为-1，则多径衰减系数ε=-exp(-j40πsinθd/λ)。
基于正交匹配追踪[19](Orthogonal Matching Pursuit，OMP)的DOA估计算法由于对信号的相干性没有要求，常被用于相干信号DOA估计，所以仿真中用正交匹配追踪算法跟本文阐述的虚拟阵列法(Virtual Array，VA)同时处理互质阵，并跟空间平滑法(Spatial Smoothing，SS)处理均匀线阵的结果作比较。用控制变量法比较3种方式在3个环境变量仰角、信噪比和快拍数影响下的角度分辨性能。其中OMP算法只需对正角度θd进行搜索，把仰角的搜索范围划分成网格θ=[θmin,θmin+Δθ,…,θmax]，然后将其代入镜像模型中的合成导向矢量asum(θd)=a(θd)+εa(-θd)构造观测矩阵ACS=[asum(θmin),asum(θmin+Δθ),…,asum(θmax)]，根据OMP算法对信号矢量进行重构得到DOA估计结果。
实验一：在给定信噪比和快拍数的环境下，比较3种方法的角度分辨成功概率随低仰角变化，仿真结果如图8所示。
(a)仰角范围以0.5°为间隔划分
(b)仰角范围以0.1°为间隔划分
图8 3种方法角度分辨成功概率随仰角变化
实验参数：信噪比10 dB，快拍数100次，蒙特卡罗仿真次数500次，图8(a)目标低仰角为1°：0.5°：8°，图8(b)目标低仰角为1°：0.1°：8°，正交匹配追踪算法的网格划分为0.5°：0.5°：20°。
图8(a)中均匀线阵前面的起伏变化是因为：仰角变化带来衰减系数相位变化，影响空间平滑解相干效果。随着仰角变大，直达波和多径的间隔变大，解相干效果受衰减系数相位的影响逐渐变小，分辨概率整体呈上升趋势，在达到1时，可以实现稳定的角度分辨。由图8(a)可以看到，用虚拟阵列方法处理的互质阵可稳定分辨的低仰角为2°，均匀线阵的可稳定分辨低仰角为4.5°，用正交匹配追踪法处理的互质阵可稳定分辨低仰角为1°。但由于正交匹配追踪法的测角性能受网格划分影响，当信号到达角与划分网格不匹配时，角度估计性能会下降，如图8(b)所示，如果直接对网格进行过于精细的划分，会导致系统的运算量过大。因此可以得到结论，在给定信噪比为10 dB的环境里互质阵虚拟阵列法的角度分辨率优于均匀线阵，而正交匹配追踪法处理的互质阵列虽然角度分辨率略优于虚拟阵列法，但估计性能受网格限制，不如互质阵虚拟阵列法稳健。
实验二：在给定低仰角和快拍数的环境下，比较3种方法的角度分辨成功概率随信噪比变化，仿真结果如图9所示。
(a)仰角为5°
(b)仰角为5.5°
图9 3种方法角度分辨成功概率随信噪比变化
实验参数：仰角分别为5°和5.5°，快拍数100次，蒙特卡罗仿真次数500次，信噪比-15：1：15 dB。
3种方法的角度分辨成功概率都随着信噪比增大而增大，但如图6所示，由于不同角度下和的相关系数不同，对互质阵虚拟阵列法角度估计效果的影响也不同。对于相关系数较低的5°，互质阵虚拟阵列法可以实现稳定分辨的信噪比环境是-6 dB，而对于相关系数较高的5.5°，互质阵虚拟阵列法可以实现稳定分辨的信噪比环境是-1 dB，都明显低于互质阵正交匹配追踪法和均匀线阵空间平滑法可实现稳定分辨的信噪比环境。因此互质阵虚拟阵列法相比于均匀线阵空间平滑法和互质阵正交匹配追踪法更适合用于低信噪比环境下的低仰角估计，可根据分辨概率对信噪比提出相应要求。
实验三：在给定低仰角和低信噪比的环境下，互质阵虚拟阵列法的角度分辨成功概率随快拍数变化，仿真结果如图10所示。
图10 互质阵角度分辨成功概率随快拍数变化
根据图9的仿真结果，在低信噪比环境下均匀线阵空间平滑法和互质阵正交匹配追踪法分辨成功的概率太低，快拍数对分辨成功概率的影响没有参考意义，所以这里只讨论互质阵虚拟阵列法的角度分辨成功概率随快拍数变化。
实验参数：信噪比-10 dB，仰角为5°，蒙特卡罗仿真次数500次，快拍数10：5：100次。
在信噪比为-10 dB，仰角为5°的环境里，互质阵虚拟阵列法的角度分辨成功概率随快拍数增大而增大。
5 结束语
本文讨论了在低仰角镜像模型中，相干信号对互质阵虚拟阵列构造的影响，根据理论与仿真结果将项近似看做虚拟均匀线阵接收信号的噪声项，从而阐明了互质阵虚拟阵列法在低仰角镜像模型中的近似可行性。仿真结果表明，相比于均匀线阵空间平滑法和互质阵正交匹配追踪法，互质阵虚拟阵列法在分辨率方面具有明显优势，分辨性能不受空间网格限制，且更适用于低信噪比环境。该算法仍存在一定的改进空间，比如在虚拟阵列接收信号中，如何降低项的影响这一问题有待进一步研究。
[1]霍炯.低角跟踪环境下阵列雷达目标仰角估计算法研究[D].西安：西安电子科技大学，2019.
[2]HOSSEIN D，MOHAMMAD A S.Low Elevation Angle Estimation Using an Iterative Array Processing Method[J].Journal of Communications Technology and Electronics，2019，64(11)：1276-1282.
[3]ZENG Xiaolu，YANG Minglei，CHEN Baixiao，et al.Estimation of Direction of Arrival by Time Reversal for Low-Angle Targets[J].IEEE Trans on Aerospace and Electronic Systems，2018，54(6)：2675-2694.
[4]刘源.米波阵列雷达低仰角目标测高方法研究[D].西安：西安电子科技大学，2018.
[5]SHAN T，WAX M，KAILATH T.On Spatial Smoothing for Direction-of-Arrival Estimation of Coherent Signals[J].IEEE Trans on Acoustics Speech and Signal Processing，1985，33(4)：806-811.
[6]VAIDYANATHAN P P，PAL P.Sparse Sensing with Co-Prime Samplers and Arrays[J].IEEE Trans on Signal Processing，2011，59(2)：573-586.
[7]周成伟.互质阵列信号处理算法研究[D].杭州：浙江大学，2018.
[8]LIU Ke，ZHANG Y D.Coprime Array-based Robust Beam Forming Using Covariance Matrix Reconstruction Te-chnique[J].IET Communications，2018，12(17)：2206-2212.
[9]郑轶松.米波阵列雷达低仰角测高若干问题研究[D].西安：西安电子科技大学，2017.
[10]汪安戈，胡国平.实数域广义MUSIC的MIMO雷达低空目标仰角估计算法[J].传感器与微系统，2018，37(11)：128-131.
[11]胡晓琴，陈建文，王永良.米波雷达测高多径模型研究[J].电波科学学报，2008，23(4)：651-657.
[12]XU Haiyun，WANG Daming，BA Bin，et al.Direction-of-Arrival Estimation for Both Uncorrelated and Coherent Signals in Coprime Array[J].IEEE Access，2019，7：18590-18600.
[13]QIN S，ZHANG Y D，AMIN M G.Generalized Coprime Array Configurations for Direction-of-Arrival Estimation[J].IEEE Trans on Signal Processing：A Publication of the IEEE Signal Processing Society，2015，63(6)：1377-1390.
[14]SHI Zhiguo，ZHOU Chengwei，GU Yujie，et al.Source Estimation Using Coprime Array：A Sparse Reconstruction Perspective[J].IEEE Sensors Journal，2017，17(3)：755-765.
[15]SHAN T J，WAX M，KAILATH T.On Spatial Smoothing for Direction-of-Arrival Estimation of Coherent Signals[J].IEEE Trans on Acoustics Speech，and Signal Processing，1985，33(4)：806-811.
[16]PAL P，VAIDYANATHAN P P.Nested Arrays：A Novel Approach to Array Processing with Enhanced Degrees of Freedom[J].IEEE Trans on Signal Processing，2010，58(8)：4167-4181.
[17]ZHANG Q T.Probability of Resolution of the MUSIC Algorithm[J].IEEE Trans on Signal Processing，1995，43(4)：978-987.
[18]刁鸣，高璐，高洪元，等.基于非均匀线阵的压缩感知波达方向估计[J].计算机工程，2015，41(10)：83-87.
[19]TROPP J A，GILBERT A C.Signal Recovery from Random Measurements via Orthogonal Matching Pursuit[J].IEEE Trans on Information Theory，2008，53(12)：4655-4666.
