0 引言
在电子战领域，假目标干扰是常见的欺骗干扰方式，尤其是基于数字射频存储器产生的间歇采样转发式干扰，更是得到了广泛的应用。间歇采样转发式干扰与雷达回波信号具有相参性，能够获得雷达匹配滤波处理后的脉压增益，有着较强的干扰能力。因此，针对间歇采样转发干扰的参数提取对抑制这种干扰具有重要的理论意义和实用价值。
间歇采样转发式干扰是对截获到的线性调频信号延时转发而来的。虽然国内外对线性调频信号参数估计[1-2]的研究很多。但针对间歇采样转发式干扰的参数提取方法研究极少。目前，间歇采样转发式干扰的参数估计大都建立在时频分析的基础上。文献[3]对间歇采样转发式干扰脉冲压缩结果进行时频分析，得到切片的数量，然后通过去卷积处理估计切片的宽度。文献[4]通过短时分数阶傅里叶变换得到干扰时频分布图，并通过二值化估计干扰参数。文献[3]和文献[4]的方法运算量较大，实现较为复杂，无法满足雷达实时性的要求；文献[5]分析干扰匹配滤波后的互模糊函数，然后通过Randon变换和最小二乘估计法对干扰参数进行估计，但是该方法受噪声影响较大，且Randon变换的复杂度较高；文献[6]提出一种滑动截断匹配滤波方法，通过对滤波器长度和滤波器延时进行二维搜索，对干扰参数进行估计，但该方法中搜索的范围需要先验信息。因此由于参数提取难度大，目前针对间歇采样转发式干扰的参数提取并无有效算法支撑。
ADMM是Gabay提出的一种解决大规模凸优化问题的算法[7]。ADMM相比于其他优化算法有着处理速度快、收敛性能好等特点，在统计学习、图像处理等领域有着广泛的运用。
综上，本文提出一种基于ADMM的间歇采样转发式干扰的参数估计方法。该方法根据间歇采样转发干扰脉冲压缩结果，构造出含有加窗向量的非线性整数优化模型，将参数估计问题转化为加窗向量估计问题，然后利用ADMM将非线性整数优化模型分解为整数归整模型与连续模型，实现切片宽度和数量的估计。
1 间歇采样转发式干扰的参数估计模型
间歇采样转发式干扰是在干扰机截获到雷达发射信号后，对发射信号进行采样，将采样的信号按照一定的规律转发出去，直至雷达发射信号结束。其工作原理如图1所示。
图1 间歇采样转发式干扰(K=3,M=2)
雷达发射的线性调频信号可表示为
(1)
式中，Tp为脉宽，Kr=B/Tp为调频斜率，B为信号带宽，f0为载频。
则干扰机截获到雷达信号后，对其进行间歇采样处理，采样后的切片信号可表示为
(2)
式中，TI为切片的宽度，K为切片的数量，Tu=(M+1)TI为间歇采样的周期，M为切片的转发次数，τ为转发延迟和传播延迟。
采样的切片转发M次之后，间歇采样转发式干扰信号表示为
sJ(t)=
ejπKr(t-τ-mTI)2
(3)
间歇采样转发式干扰形式主要有直接转发干扰、重复转发干扰和循环转发干扰，本文只针对直接转发干扰进行研究，即M=1。直接转发干扰是在干扰机截获到雷达发射信号后，对发射信号进行采样，直接将采样的信号转发出去，然后重复此过程直至雷达发射信号结束。为方便分析，这里设传播延迟为0，直接转发干扰信号可表示为
sJ1(t)=sI(t-TI)=
(4)
令
为K个矩形窗函数之和，间歇采样转发式干扰可看作雷达发射信号x(t)延迟TI之后叠加窗函数ωk(t-TI)的结果。因此，则式(4)可变为
sJ2(t)=ωk(t-TI)ejπk(t-TI)2=
ωk(t-TI)x(t-TI)
(5)
令t=nTs,TI=NITs，Tu=NuTs(Ts为采样周期)，则式(5)可变为
sJ2(n)=ωk(n-NI)x(n-NI)=
(6)
式中，N为一个周期的采样点数。
设匹配滤波器的响应为h(n)，NI<N，则间歇采样转发式干扰信号经过匹配滤波处理之后得
(7)
式中,
。
相应的振幅响应为
(8)
式中，
从上面可以看出，间歇采样转发式干扰信号实质上是将截获的雷达信号频谱搬移到辛格函数每条离散谱线处，多个干扰切片叠加后相当于对辛格主瓣进行了采样。间歇采样转发式干扰经匹配滤波之后的振幅响应取决于切片的数量K与切片的宽度TI。因此，切片数量K与切片宽度TI的估计可以通过匹配滤波器实现。而这两个关键参数与窗函数ω(t-TI)形式有关，则对干扰信号切片宽度与切片数量的估计问题可转化为窗函数的估计问题。
设未知窗函数为q(n)，则间歇采样转发式干扰用窗函数可以表示为
sJ(n)=q(n)⊙s(n)
(9)
式中，⊙表示点乘，s(n)为雷达信号。
雷达接收到信号(包含目标、切片干扰和噪声)为
(10)
式中，w(n)为高斯白噪声，s(n)为雷达信号，sJ(n)为干扰信号，αt为雷达信号的系数，αs为干扰信号的系数。
间歇采样转发式干扰分别经雷达信号匹配滤波和自身匹配滤波后之差可表示为
f[q(n)]=
r0(n)
(11)
在已知间歇采样转发式干扰的窗函数，则式(11)两种匹配处理之差应非常小，在理想情况下为0。为了衡量上式两种处理方法之差，这里取无穷范数，可得
||f[q(n)]||∞=||Hq||∞
(12)
式中，矩阵H为系数矩阵，q为加窗向量，待估计值。
当||f[q(n)]||∞取最小值时，雷达信号加窗之后的结果最接近于间歇采样转发干扰信号。据此，本文可将参数估计问题转化为目标函数优化问题，从而实现干扰信号切片宽度与切片数量的估计。为了使参数估计模型求解时获得稀疏解，并且防止过拟合，在式(12)中加入正则化项，本文间歇采样转发式干扰参数估计模型为
(13)
式中，||q||1为正则项。
2 基于ADMM的间歇采样转发式干扰的参数估计算法
分析式(13)可以发现其属于非线性整数规划问题。目前，解决非线性整数规划问题的传统方法主要有分支定界法[8-9](Branch-and-Bound，BB)、广义Benders分解法[10](Generalized Benders Decomposition，GBD)等。但BB在处理大规模优化问题中速度较慢，GBD在针对非凸问题时，子问题的最优解不能准确地传递给主问题。因此，这些算法在求解非线性整数优化问题时时间复杂度都较高。
ADMM算法融合了对偶上升法的可分离性以及乘子法的收敛性，核心思想是将一个大的问题分解成若干个小问题，交替迭代进行求解，使原目标与对偶变量共同收敛[11]，其标准形式如下[12]：
(14)
式中，f(x)，g(z)为2个凸函数。
构造拉格朗日函数：
Lp(x,z,λ)=f(x)+g(z)+λT(Ax+Bz-c)+
(15)
式中，Lp(x,z,λ)为增广拉格朗日函数，λ为对偶变量，ρ>0为惩罚系数。则k+1次更新迭代形式为
(16)
根据式(16)可知，ADMM算法首先分别求解x和z两个变量，然后根据x和z再对λ求解。算法迭代时，x和z是交替更新的，这个过程称为交替方向过程[13-14]。
对于非线性整数优化问题，ADMM算法可将其分解后形成两个小的子问题：整数归整问题、连续问题，通过缩小问题的规模来增加求解的弹性。具体做法是复制一个和整数变量有相同边界的连续变量，代替整数变量参与连续问题的优化。根据ADMM算法原理，将式(13)写成如下紧凑形式：
(17)
p-q=0
(18)
当对式(13)中的整数变量q进行复制，使其连续变化，就得到了式(17)中的变量p，变量p与变量q有相同的边界条件。式(18)为它们之间的耦合关系，目的就是为了保证p代替q参与连续问题优化后，得到的最优解能一致收敛到q。将式(17)和式(18)写成增广拉格朗日罚函数的形式，则目标函数为
L(p,q,λ)=F(p)+λT(p-q)+
(19)
根据ADMM的更新迭代形式，将待优化模型分解得到两个规模较小的子模型，如式(20)所示是只包含变量p的非线性规划模型，如式(21)所示为只包含变量q的混合整数二次规划模型。
(20)
(21)
式中，k为更新迭代次数。
根据式(20)和式(21)可知，非线性规划模型对应式(13)的松弛模型，混合整数二次规划模型对应式(13)的整数归整模型。
则k+1次更新迭代形式为
(22)
根据ADMM的收敛条件，当第k+1次迭代完成后，qk+1与pk+1之间的残差达到收敛精度时，迭代停止，得到最优解qk+1，收敛判定条件如式(23)所示。图2为ADMM算法的流程图，图3为间歇采样转发式干扰的参数估计流程图。
ε=||pk+1-qk+1||2< ε0
(23)
式中，ε0为迭代停止基准，本文取0.001。
图2 ADMM算法流程
图3 间歇采样转发式干扰参数估计流程
3 仿真分析
仿真参数设置如下：线性调频信号B=2 MHz，时宽T=10 μs，采样频率fs=5 B，干扰采样周期Tu=0.2 T，占空比r=0.5，残差迭代停止基准ε0=0.001，背景为高斯白噪声。图4为间歇采样转发式干扰信号的时域波形。
图4 间歇采样转发式干扰信号的时域波形
图5是在干噪比JNR=14 dB，ρ=0.9下的残差收敛曲线图。残差是判断ADMM算法是否达到最优的一个重要标准。由图5分析可知：残差随着迭代次数的增加而减小，在迭代相应的次数后，其值趋近于零，说明该算法良好的收敛性。图6为上述条件下估计的加窗向量，从图中可以精确地得到切片数量，而切片宽度存在一定的误差。
图5 残差收敛曲线
图6 估计得到的加窗向量
为了验证本文算法的有效性，在JNR=10～25 dB,ρ=0.9时分别进行100次蒙特卡洛仿真，计算每个JNR下估计切片宽度的均方根误差，将本文结果与文献[3]比较，图7为2种算法估计切片宽度均方根误差图，从图中可以发现本文算法随着JNR增大，估计均方根误差在减小，JNR≥10 dB时估计的均方根误差在0.02 μs左右，估计的精度较文献[3]有较大提高，且受噪声的影响更小。实验证明了该方法的优越性。
图7 2种算法估计切片宽度的均方根误差
为了研究切片宽度对本文算法的影响，在JNR=14 dB，ρ=0.9时分别进行100次蒙特卡洛仿真估计，计算不同切片宽度下估计切片宽度的均方根误差，图8为估计的均方根误差随切片宽度变化曲线图。从图中可以看出本文算法受切片宽度的影响较小，估计均方根误差更小。
图8 估计的均方根误差随切片宽度变化曲线
为了测试使用本文算法抗干扰的效果，将雷达接收信号的干扰区间置零，即
s(t)+sJ(t)=0
(24)
式中，s(t)为目标信号，sJ(t)为间歇采样转发式干扰信号，t∈[nTu+TI,(n+1)Tu]，将雷达接收信号的非零部分作拼接处理，然后将拼接处理后的信号进行匹配滤波处理。图9为利用本文算法提取的参数抑制干扰的效果图。从图中可以看出目标回波叠加间歇采样转发式干扰信号经过抗干扰处理后，假目标被成功抑制掉，且比文献[3]的抗干扰效果好。
图9 抗干扰处理前后的对比图
4 结束语
间歇采样转发式干扰与雷达信号具有相参性，在时域上能够形成大量且逼真的假目标。针对间歇采样转发的问题，本文以间歇采样转发干扰的模型为基础，推导出干扰经过脉冲压缩后的结果，构造含有加窗向量的非线性整数优化模型，最后巧妙利用ADMM算法求解加窗向量，实现切片宽度和数量的估计。仿真结果表明在干噪比10 dB以上时，该方法估计参数的精度较其他方法有明显提高且更加稳定。由于间歇采样转发式干扰能够通过调整参数形成不同的干扰样式，针对其他干扰样式的参数估计是下一步的研究方向。
[1] 李强, 王其申. 基于小波-Randon变换的线性调频信号检测与参数估计[J]. 信息与电子工程,2005(3):192-196.
[2] 黄响, 唐世阳, 张林让, 等. 一种基于高效FrFT的LFM信号检测与参数估计快速算法[J]. 电子与信息学报,2017,39(12):2905-2911．
[3] ZHOU Chao，LIU Quanhua，CHEN Xinliang. Parameter Estimation and Suppression for DRFM-Based Interrupted Sampling Repeater Jammer[J]. IET Radar, Sonar & Navigation,2018,12(1):56-63.
[4] 杨小鹏, 韩博文, 吴旭晨, 等. 基于短时分数阶傅里叶变换的间歇采样转发干扰辨识方法[J]. 信号处理,2019,35(6):1002-1010．
[5] 周畅, 范甘霖, 汤子跃, 等. 间歇采样转发干扰的关键参数估计[J]. 太赫兹科学与电子信息学报,2019,17(5):782-787.
[6] 周超, 刘泉华, 曾涛. DRFM间歇采样转发式干扰辨识算法研究[J]. 信号处理，2017,33(7):911-917.
[7] 杨金泰. 基于ADMM的大规模阵列方向图综合算法研究[D]. 成都:电子科技大学,2019．
[8] DELGADO M A D J, POURAKBARI-KASMAEI M, RIDER M J. A Branch and Bound Algorithm to Solve Nonconvex MINLP Problems via Novel Division Stra-tegy: An Electric Power System Case Study[C]∥2017 IEEE International Conference on Environment and Electrical Engineering and 2017 IEEE Industrial and Commercial Power Systems Europe (EEEIC/I&CPS Europe),Milan:IEEE, 2017:1-6.
[9] PALIS D, PALIS S. Efficient Unit Commitment-A Modified Branch-and-Bound Approach[C]∥2016 IEEE Region 10 Conference (TENCON),Singapore:IEEE, 2016:267-271.
[10] 李颖浩, 郭瑞鹏. 基于广义Benders分解的启发式机组组合优化[J]. 电网技术,2012,36(3):179-183.
[11] CANDES E J, WAKIN M B, BOYD S P. Enchancing Sparsity by Reweighted Minimization[J]. Journal of Fourier Analysis and Application,2008,14(5):877-905.
[12] 唐焕文, 张立卫, 王雪华. 一类约束不可微优化问题的极大熵方法[J]. 计算数学,1993,4(3):268-275．
[13] 王程, 刘念. 基于交替方向乘子法的互联微电网系统分布式优化调度[J]. 电网技术,2016,40 (9):2675-2681.
[14] 许浩峰, 凌青. 分布式在线交替方向乘子法[J]. 计算机应用,2015 ,35(6):1595-1599.
