0 引言
空间步进频雷达系统采用多个天线发射相互正交的步进频信号，实现全空域覆盖，接收端采用多天线同时接收，每个接收天线接收来自所有发射天线发射的不同频率信号，将各频点信号分离后进行子带拼接可以得到大带宽信号[1]，同时多天线产生的虚拟孔径增大了阵列孔径。因此，相对于传统的时间步进频雷达，提高了空间分辨率和时间利用率。
传统的空间步进频二维目标定位方法是先对接收导向进行波束形成得到接收角度，然后再对发射孔径进行发射脉冲综合，同时实现脉冲压缩和发射孔径综合，得到距离-角度二维估计信息[2]；由于脉冲综合实际是在补偿发射角度相位的同时利用IFFT实现步进频脉冲压缩，所以传统方法受实际带宽和阵列孔径的约束，空间分辨率较低，想要获得高精度参数估计，需要采用超分辨算法。文献[3]采用MUSIC算法得到距离超分辨估计，相较于IFFT分辨率更高，旁瓣更低。由于空间步进频接收信号是距离-角度耦合的，因此，存在量化误差，距离和角度估计偏差较大，为了提高距离和角度的分辨率，文献[4-5]采用2D-MUSIC算法实现距离-角度二维超分辨估计，在一定程度上消除了由于距离和角度耦合产生的估计偏差，但在少快拍或者相干目标情况下MUSIC算法性能恶化严重[6]。稀疏恢复在少快拍和相干目标情况下具有很好的目标参数估计性能[7-10]。文献[11]利用稀疏迭代自适应算法(Iterative Adaptive Approach，IAA)实现了距离-角度的二维图像估计，在少快拍甚至单快拍情况下仍然具有较好的性能。然而IAA在二维功率谱估计中主瓣较宽，且在主瓣附近存在较多的虚假峰值，针对这一问题，文献[12]提出了稀疏迭代的加权q范数最小化(lq-Sparse Iterative Minimum，lq-SIM)方法，利用q范数提高功率的稀疏性，使得主瓣宽度减小，分辨率增加，同时消除了虚假峰值。然而IAA和lq-SIM只具有局部收敛性，且均为单快拍数据优化形式，扩展到多快拍时相对复杂[13-14]，导致时间复杂度增加，收敛速度较慢。基于协方差拟合的稀疏迭代(Sparse Iterative Covariance-based，SPICE)方法[15]，将接收数据转换成协方差矩阵，得到协方差拟合的加权最小二乘算法，在多快拍或少快拍数据中均适用，并且具有全局收敛性。然而，SPICE并不能很好地得到目标的能量测量值，在相干目标情况下估计偏差较大[16]。迭代稀疏渐进最小方差(Sparse Asymptotic Minimum Variance，SAMV)准则[17]能很好地解决SPICE能量估计不准确的问题，具有较高的估计精度，对少快拍和相干信号具有很好的鲁棒性，但在低信噪比情况下参数估计的稳定性较差，在真实目标周围存在较多虚假峰值，导致估计偏差增大。
为解决上述问题，提高空间步进频雷达在少快拍和低信噪比情况下距离-角度二维估计精度，提出了一种改进的空间步进频雷达距离-角度二维联合稀疏估计方法。仿真结果表明，本文方法能够有效提高在少快拍和低信噪比情况下目标距离-角度二维估计精度；并且在相干目标情况下仍具有较好的估计性能。
1 空间步进频信号模型
考虑远场窄带的空间步进频雷达，采用N个发射阵元和M个接收阵元，假设收发天线为全向性的均匀线阵，发射与接收阵元的间距等于半波长，即dt=dr=d=c/(2f0)，c为电磁波传播速度，f0为参考频率。第n个阵元发射的信号形式如下：
sn(t)=rect(t)ej2πfnt,0≤t≤Te,n=1,…,N
(1)
式中：
为基带信号，Te为脉冲宽度时间；fn=f0+(n-1)Δf表示第n个发射阵元的发射频率，每个阵元之间都有一个线性变化的频率增量Δf。为了满足发射信号的正交性，任意发射阵元在空间中任意位置处应满足如下关系式：
exp(-j2πfiτ0i)·
exp(-j2πfjτ0j)=0
(2)
其中上标*表示共轭处理。从式(2)可以看出，只有当ΔfTe为整数时上式才满足，才能保证发射信号正交，本文选取TeΔf=1，即在脉冲宽度Te内各阵元的发射频率之间的间隔
对应的总带宽Bw=NΔf。
假设以第一个发射阵元和接收阵元作为参考阵元，对于空间中在距离rp和角度θp处的目标在第m个接收阵元的接收信号为
sm(t)=
exp[j2πfn(t-τp,n,m)]
(3)
式中，τp,n,m表示目标的延时，主要包括目标的双程延时、发射阵元延时差和接收阵元延时差，第n个发射阵元经过目标反射后到第m个接收阵元对应的延时相位为
φp,n,m=2πfnτp,n,m=2π[f0+(n-1)Δf]×
(4)
式(4)第一项为距离产生的常数项；第二项
与距离有关，可以看出，将N个频点拼接后形成大带宽，可以实现距离高分辨估计；第三和第四项是与角度有关，可以实现目标的角度估计；假设初始频率f0≫Δf，式(4)的最后两项往往很小，所以为了方便研究，将后两项忽略。
由于空间步进频发射相互正交的信号，在接收端经过预处理可以将信号进行频率分离，再将频率拼接形成大带宽的接收信号模型。第m个接收阵元的信号预处理流程如图1所示。
图1 第m个接收阵元的信号预处理流程
为了方便处理，下面只考虑同一个距离窗内目标，且脉冲宽度Te作为一个距离窗长度，假设空间中存在
个目标，位于同一距离窗内，接收信号经过预处理后得到第l快拍的接收信号模型：
(5)
式中：l=1,2,…,L表示发射脉冲个数，也是接收信号的快拍数；αp,l表示在第l个快拍处的第p个目标回波信号复幅度；el∈CNM×1为高斯白噪声矢量；令a(rp,θp)=ar(θp)⊗at(rp,θp)表示导向矢量，其中⊗表示Kronecker积；ar(θp)为接收导向矢量，at(θp,rp)为发射导向矢量，分别为如下形式：
(6)
式中，上标Τ为转置处理，λ为参考频率的波长。将L个快拍的接收数据写成矩阵形式如下：
Y=Aα+ε
(7)
式中，Y∈
为所有目标导向矩阵，
为L个快拍的复幅度，ε=[e1,…,eL]NM×L为L个快拍的噪声。
假设目标与目标和目标与噪声信号之间相互独立，则对应的接收信号的协方差矩阵为
R=E{YYH}=APAH+σI
(8)
式中，
表示对角化功率值，上标H表示共轭转置。本文假设各通道噪声分量相同，即σ1=σ2…=σNM=σ，Ι(NM)×(NM)为单位矩阵。而在实际应用中，通常是利用采样数据来得到采样协方差矩阵：
(9)
2 基于2D-lq-SAMV的距离-角度二维超分辨估计
SAMV是基于渐进最小化方差(Asymptotic Minimum Variance，AMV)准则[18]得到的稀疏迭代算法。SAMV算法的参数估计性能与最大似然估计相同，可以实现高精度的目标参数估计；但在低信噪比时SAMV的稳定性较差，导致低信噪比估计偏差较大。为了增强SAMV在低信噪比情况下的稳定性，本文提出了一种改进的基于加权lq-范数的二维稀疏渐进最小方差(2D-lq-SAMV)方法，实现距离-角度二维估计。该方法的最优化目标函数形式为
(10)
式中：
表示矩阵向量化操作，
表示稀疏导向矩阵，
表示将所观察的空间划分成PK个搜索网格单元，其中包括P个距离搜索单元和K个角度搜索单元，
与噪声功率对应； p=[p1,p2,…,pPK,σ]T表示各网格功率和噪声功率，其中仅有
个网格功率不为零；Cr=R*⊗R表示渐进协方差矩阵[16]；rn=vec(RL)表示向量化接收数据的协方差矩阵。其中
是噪声功率，用来平衡第一项和正则化项；权值
用来提高低信噪比时的鲁棒性。
为求功率p，令
将该变换式代入式(10)得到关于pi的代价函数，展开得到下面的式子：
g(pi)=
(11)
由于ri与pi无关，对式(11)求关于pi的偏导，可以得到
(12)
将ri的变换式代入式(12)中，利用下面两个矩阵的性质和Capon谱估计公式对上式进行化简：
(13)
(14)
则第i个网格点在第j+1次迭代的功率值为
(15)
初始的各网格功率值
和初始噪声功率
可以由式(16)得到
(16)
算法的具体步骤如表1所示。
表1 2D-lq-SAMV算法步骤
Initialize:Y,RL,j=0,p^(j),σ^(j)Repeat: Step1: R(j)=AP(j)AH+σI,μ(j)=1(NM)2rn-r(j)(p)2w(j)=1p^(j)1+1,1p^(j)2+1,…,1p^(j)PK+1 Step2:p^(j+1)i=p^(j)iaHi(R(j))-1RL(R(j))-1aiaHi(R(j))-1ai+μ(j)w(j)i/(p(j)i)(1-q),i=1,2,…,PKσ^ (j+1)=Tr((R(j))-2RL)Tr((R(j))-2) Step3: j=j+1Until: p^(j+1)-p^(j) p^(j+1) <10-3
根据式(15)，令
可以得到功率的迭代值是与
和
成正比；其中表示前一次迭代更新的功率值，当较小时，使得下次迭代更新的功率值越小，随着不断的迭代，噪声不断趋向于零，所以，有利于促进算法的稀疏性。
是具有修正项的Capon能量测量，而Capon在能量谱测量中具有较好的分辨率，随着不断的迭代更新，可以实现较高的分辨率；同时，修正项
也能很好地促进算法的稀疏性，若将lq-SAMV写成重加权的l2-范数最小化优化方法，同样可以得到式(15)的功率迭代值，其最优化函数为
(17)
式中，
是对角化的加权矩阵。可以看出，当
越小使得
越小，而(W(j))-1/2越大，导致整个p更加趋近于0。因此，通过加权lq-范数使得p越来越稀疏，同时在低信噪比情况下也会更加稀疏，只保留真实目标的峰值，消除了虚假目标，提高了低信噪比时的稳定性。
3 仿真实验分析
为了验证本文所提方法的有效性，下面以空间步进频雷达为例进行仿真实验。发射和接收阵元个数为N=M=7，发射和接收阵元的间距为dt=dr=d=λ/2， λ为初始频率f0的波长，f0=10 GHz，Δf=500 kHz，等效的信号带宽为Bw=NΔf=3.5 MHz，对应的距离分辨率为Δr=c/(2Bw)≈42.86 m。假设远场存在4个点目标位于同一距离窗内，分别是(r1,θ1)=(346 m,-14°)，(r2,θ2)=(370 m,10°)，(r3,θ3)=(450 m,-8°)，(r4,θ4)=(510 m,18°)，各目标功率分别为8，10，8和5 dB，初始的参考距离为300 m，快拍数L=10，目标3与目标4是相干的，其他均为非相干目标。将本文算法2D-lq-SAMV与2D-SAMV算法进行两次对比，信噪比分别为SNR=5 dB和SNR=20 dB，范数q=0.6，如图2、图3为20次蒙特卡洛实验结果。红色虚线为真实目标所在位置。从图中可以看出，在高信噪比情况下，无论是本文方法还是SAMV都具有较高的估计精度。在低信噪比情况下，相比于SAMV，本文方法的稀疏性更好，稳定性更高，功率谱估计的准确性更高，没有虚假峰值，而SAMV在主峰附近存在较多的虚假峰值，估计偏差较大。从整体可以看出，本文所提方法在低信噪比情况下具有很好的鲁棒性，并且对相干目标仍具有较高的估计性能。
(a) 本文所提方法lq-SAMV
(b) 原文方法SAMV
图2 高信噪比SNR=20 dB
(a) 本文所提方法lq-SAMV
(b) 原文方法SAMV
图3 低信噪比SNR=5 dB
为了进一步验证算法性能，下面将本文方法与2D-Beamforming、2D-MUSIC、2D-lq-SIM和2D-SAMV算法进行对比，给出在不同信噪比下距离、角度均方根误差(Root Mean-Square Errors，RMSE)和平均迭代时间曲线。考虑空间远场中两个目标，分别位于(r1,θ1)=(338 m,3.1°)，(r2,θ2)=(365.8 m,18°)，目标的功率为8 dB和10 dB，快拍数L=10，发射和接收阵元N=M=8；距离划分区间为[300∶ 1∶ 400]m，角度区间为[-10°∶ 1°∶ 30°]，范数q=0.7。图4是在非相干目标情况下的500次蒙特卡洛实验结果，从图4可以看出，由于2D-Beamforming分辨率受孔径和带宽限制，主瓣宽度较宽，导致两个临近目标无法分辨。 2D-MUSIC由于快拍数较少，信号子空间与噪声子空间的正交性差，当信噪比较低时性能恶化严重，从图中可以看出，当SNR大于13 dB时估计性能才较好。相比于2D-SAMV和2D-lq-SIM，所提的2D-lq-SAMV方法在低信噪比时具有更小的均方根误差，而2D-lq-SIM在SNR小于8 dB时无法实现目标参数估计。信噪比大于15 dB时，2D-lq-SIM距离均方根误差略小于2D-lq-SAMV，从图4(a)距离均方根误差曲线可以计算出2D-lq-SIM与2D-lq-SAMV距离均方根误差平均相差0.016 m；从图4(b)可以看出在信噪比大于15 dB时角度均方根误差相同；所以，当SNR大于15 dB时，2D-lq-SIM、2D-SAMV和2D-lq-SAMV算法性能相似。图5是在相干目标情况下的500次蒙特卡洛实验结果，可以看出在相干目标情况下2D-Beamforming和2D-MUSIC均无法实现目标的参数估计；然而，本文算法2D-lq-SAMV在相干目标情况下仍具有较好的估计性能。从图6可以看出，无论对于非相干目标还是相干目标，所提的2D-lq-SAMV方法比2D-lq-SIM方法收敛速度都要快。综合所有仿真实验结果，本文所提方法性能更好。
(a) 距离均方根误差曲线
(b) 角度均方根误差曲线
图4 非相干目标在不同SNR下的RMSE曲线
(a) 距离均方根误差曲线
(b) 角度均方根误差曲线
图5 相干目标在不同SNR下的RMSE曲线
(a) 非相干目标的平均迭代时间
(b) 相干目标的平均迭代时间
图6 不同SNR下的平均迭代时间曲线
4 结束语
本文利用空间步进频雷达回波特性，在接收端得到距离-角度联合的等效接收信号模型，针对稀疏渐进最小方差准则存在的问题，提出一种改进的基于加权lq-范数的稀疏渐进最小化方差方法，并利用2D-lq-SAMV得到空间步进频雷达距离-角度二维功率谱估计。通过仿真实验表明，2D-lq-SAMV对于少快拍和相干目标情况仍具有较好的鲁棒性；在少快拍时，相比于单快拍数据优化形式的2D-lq-SIM收敛速度更快。与2D-SAMV算法相比，所提的2D-lq-SAMV算法的鲁棒性更好，在空间步进频距离-角度二维估计中精度更高。
[1] 秦国栋，陈伯孝，陈多芳，等. 一种多载频MIMO雷达高速运动目标多维参数估计方法[J]. 电子学报，2010，38(12)：2763-2768.
[2] 张庆文，保铮，张玉洪. 稀布阵综合脉冲和孔径雷达的接收信号处理[J]. 现代雷达，1992，14(5)：32-42.
[3] 赵光辉，陈伯孝，杨雪亚. SIAR体制单基地MIMO雷达分辨率分析及距离高分辨技术[J]. 系统工程与电子技术，2010，32(1)：57-61.
[4] 杨明磊，陈伯孝，秦国栋，等. 多载频MIMO雷达的空时超分辨算法[J]. 电子与信息学报，2009， 31(9)：2048-2052.
[5] XIONG Jie，WANG Wenqin，GAO Kuandong. FDA-MIMO Radar Range-Angle Estimation：CRLB，MSE and Resolution Analysis[J]. IEEE Trans on Aerospace and Electronic Systems，2018，54(1)：284-294.
[6] 杨志伟，贺顺，廖桂生. 加权伪噪声子空间投影的修正MUSIC算法[J].信号处理，2011，27(1):1-5.
[7] PARK H R，LI J. High-Resolution Time Delay Estimation via Sparse Parameter Estimation Methods[J]. IET Signal Processing，2019，14(9):97-105.
[8] 郭艺夺，宫健. 基于稀疏恢复的自适应角度多普勒补偿方法[J].雷达科学与技术，2020，18(5)：517-523.
GUO Yiduo, GONG Jian. Adaptive Angle Doppler Compensation Method Based on Sparse Recovery[J]. Radar Science and Technology, 2020, 18(5):517-523.(in Chinese)
[9] LIM D，XU L，GIANELLI C，et al. High-Resolution Multiple-Input Multiple-Ouput FLGPR Imaging[J]. IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters，2018，15(5)：689-693.
[10] CHEN Y，HUANG L T，SO H C. Selective Range Ite-rative Adaptive Approach for High-Resolution DOA Estimation[J]. IEEE Access，2019，7：15634-15640.
[11] ROBERTS W，STOICA P，LI Jian，et al. Iterative Adaptive Approaches to MIMO Radar Imaging[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2010，4(1)：5-20.
[12] 巩朋成，刘刚，黄禾，等. 频控阵MIMO雷达中基于稀疏迭代的多维信息联合估计方法[J].雷达学报，2018，7(2)：194-201.
[13] TAN X，ROBERTS W，LI Jian，et al. Sparse Learning via Iterative Minimization with Application to MIMO Radar Imaging[J]. IEEE Trans on Signal Processing，2011，59(3)：1088-1101.
[14] STOICA P，BABU P，LI J. New Method of Sparse
Parameter Estimation in Separable Models and Its Use for Spectral Analysis of Irregularly Sampled Data[J]. IEEE Trans on Signal Processing，2010，59(1)：35-47.
[15] STOICA P，BABU P，LI J. SPICE：A Sparse Covariance-Based Estimation Method for Array Processing[J]. IEEE Trans on Signal Processing，2011，59(2)：629-638.
[16] ZHENG Yu，LIU Lutao，YANG Xudong. SPICE-ML Algorithm for Direction-of-Arrival Estimation[J]. Sensors，2019，20(1)：119.
[17] ZHANG Xiangyu，SUN Jun，CAO Xingrong. Robust Direction-of-Arrival Estimation Based on Sparse Asymptotic Minimum Variance[J]. The Journal of Engineering，2019(4)：7815-7821.
[18]ZHANG Yahao，YANG Yixin，YANG Long，et al. Root Sparse Asymptotic Minimum Variance for off-Grid Direction-of-Arrival Estimation[J]. Signal Processing，2019,163：225-231.
