0 引言
目标检测是雷达的基本任务之一，在过去的几十年间，自适应目标检测引起了学者的广泛关注并得到了深入研究[1-6]。传统的目标检测器假定目标的导向矢量已知，将目标建模为来自秩一空间的信号，但是这种信号模型没有考虑导向矢量失配的情形，即可能出现名义导向矢量与实际导向矢量不匹配，大大降低了目标检测性能。为了克服导向矢量失配所带来的影响，一系列的子空间目标检测器[7-13]被陆续提出，这种子空间目标检测器假定目标信号来自一个已知的子空间，但是坐标未知，通过将信号建模为多秩子空间信号来设计检测器以实现导向矢量未知条件下的自适应目标检测。文献[7]基于子空间信号模型提出了针对距离扩展目标的反对称检测器，并通过实测数据验证了其在小训练样本条件下的优越检测性能。文献[8]提出了有色高斯噪声环境中的子空间目标检测器，该检测器可以抑制子空间干扰，并且在训练样本数受限的条件下仍能保持较优的检测性能。
上述的子空间目标检测器均假定目标来自一个低秩多维子空间，然而在实际的目标检测场景中，回波数据往往是通过不同模式之间的切换而生成的多元信号，此时子空间模型并不能对其进行较为准确的描述。文献[14]提出了一种联合子空间模型，这种模型假定目标信号来自一个多子空间的联合，可以更好地模拟实际目标检测场景中所接收的多元回波信号。在近几年中，基于联合子空间的目标检测方法得到了广泛关注[15-19]，文献[15]通过结合最大后验和奈曼-皮尔逊准则实现对不同类别的目标进行预分类。文献[16]提出了压缩感知框架下的信号检测问题，利用LASSO实现多元信号检测，但是该文献并没有对各个子空间的几何关系进行深入分析。文献[17]深入研究了联合子空间模型下的目标检测问题，基于GLRT[20]准则提出了一种联合子空间检测算法，推导出了子空间分类概率的边界，并且研究了二元检验与多元检验之间的关系。
注意到，现存的目标检测器也仅有基于GLRT准则的联合子空间检测器，并且其检测性能与选择性均无法调节。为此，基于Rao和Wald准则，我们首先推导了两种联合子空间检测器[5] (UoS-Rao、UoS-Wald)，然后通过引入可调参数，提出一种可调检测器(UoS-Tunable)，从而实现对检测器的检测性能和选择性的灵活控制。所提的检测器能够有效实现联合子空间目标检测，并且可以通过调节参数来灵活调节可调检测器的检测性能、分类性能与选择性，具体为调小参数可以提高检测器的检测性能与分类性能，并会提高其对信号失配的鲁棒性；调大参数则会降低检测器的检测性能与分类性能，但会提高其对于信号失配的选择性。最后，仿真实验验证了所提方法的有效性。
1 信号建模
假设雷达在一个相参处理时间(CPI)内发射N个脉冲，将雷达所接收回波中的待测数据记为x∈CN，训练样本数据记为xp, p=1,…,N0，其中，xp的均值为零，且其协方差矩阵为M，N0表示所利用的训练样本数。当待测数据中不存在感兴趣的目标信号时，可以将待测数据表示为x=n，其中n～CN(0,σ2M)为所接收到的噪声信号，σ2表示功率失配因子；当待测数据中存在目标信号时，可以表示为x=s+n，在本文中，假定所接收的目标信号s来自多个子空间的联合，利用K0个不同的子空间Sk,k=1,…,K0分别对应多元目标信号的不同特性。此时，子空间联合的目标检测问题可以建模为
(1)
式中，np为待测数据周围距离单元的训练样本，假设检验H0表示待测数据中不包含目标信号，假设检验H1表示待测数据中包含来自联合子空间的目标信号，而假设检验Hk不仅表明待测数据中存在目标信号，还代表该目标信号来自联合子空间中的第k个子空间。在下文中，将目标信号详细记作s=Hkαk，其中，Hk∈CN×q表示子空间矩阵，αk∈Cq×1为对应的坐标，q为多普勒频率数。
2 检测器设计
本节针对检测模型(式(1))，首先基于Rao和Wald准则推导出联合子空间检测器(UoS-Rao、UoS-Wald)，然后通过引入可调参数，最终设计出一个可调联合子空间检测器(UoS-Tunable)，并推导出其检测统计量和分类统计量的边界。
Rao检验一般可以用下式表示[21]：
(2)
式中，I表示费雪信息矩阵，
表示转置操作，并且f1(x|θ)表示在假设检验H1下的概率密度函数，具体可以表示为
(3)
式中，exp(·)表示指数函数，(·)H表示共轭转置操作，|·|表示矩阵的行列式。
经过推导计算(略)，可得基于Rao准则的检验为
(4)
Wald检验一般可以用下式表示[22]：
(5)
其中，
可以通过最大化f1(x|θ)求得，即
(HHM-1H)-1HHM-1x
(6)
经过推导计算(略)，可得基于Wald准则的检验为
(7)
在联合子空间检测器设计中，信号所在的子空间应为在联合子空间并集
中的一个子空间Hk，则联合子空间下的Rao检验(UoS-Rao)如下式所示：
(8)
式中，
表示
的投影矩阵，
表示检测统计量最大值位于第个子空间，具体表示为
(9)
相应地，联合子空间下的Wald检验(UoS-Wald)为
(10)
通过比较式(4)和式(10)，我们引入一个可调参数γ，设计一个可调联合子空间检测器(UoS-Tunable)，从而实现联合子空间目标检测性能的灵活调节，即
(11)
其中，可调参数范围为γ≥0，根据系统设计需要，通过调节参数，参数可调检测器可实现对信号的灵活检测。值得指出的是，式(11)可看作联合子空间检测器族，而非单一的检测器。当可调参数γ=0时，可调检测器退化为UoS-Rao检测器；当可调参数γ=1时，可调检测器退化为UoS-Wald检测器。
在检测到目标存在的基础上，还需要将目标正确归类至相应的子空间，此时就需要求得所提检测器的分类统计量。分类阶段可以概括为：首先检测到待测数据中存在目标信号，然后对待测数据进行处理，将目标信号分类至检测统计量最大值所在的子空间。因此，可调联合子空间检测器的分类概率下边界可表示为
(K0-1)}
(12)
3 仿真分析
本节采用蒙特卡洛仿真实验评估所提可调检测器的检测性能、分类性能，以及其在分类阶段的选择性。首先分别考察检测器在不同虚警概率下和不同信噪比下的检测概率和分类概率，然后改变名义导向矢量与实际导向矢量的失配程度，考察检测器的分类概率对不同失配条件的敏感性，用以反映检测器的选择性能。在蒙特卡洛仿真实验中，若无特别说明，仿真参数设置为：脉冲数m=4，训练样本数N0=200，信噪比SNR=10 dB，一阶迟滞系数ρ=0.9。
图1给出了不同可调参数下可调检测器与Rao和Wald检测器的检测概率与虚警概率的关系曲线。从图中可以看出，随着虚警概率的增加，检测阈值下降，检测器的检测概率均有一定程度的提高，且Rao检测器的检测概率高于Wald检测器。调节可调检测器的参数，当参数γ为0时，可调检测器具有与Rao检测器相同的检测概率；当参数γ为1时，可调检测器具有与Wald检测器相同的检测概率；当参数在0至1之间改变时，可调检测器的检测性能在Rao和Wald检测器之间变化，其中大参数对应低检测性能，小参数对应高检测性能。
(a) γ=0
(b) γ=1
(c) γ=0.3
(d) γ=0.5
(e) γ=0.7
图1 可调检测器在不同参数下的检测概率与虚警概率的关系曲线
图2给出了可调检测器与Rao和Wald检测器的检测概率与信噪比的曲线。从图中可以看出，随着信噪比的提高，所对比的检测器的检测性能都得到提升，且Rao检测器的检测性能优于Wald检测器。在可调检测器的参数变化时，得到的结论与图1相近，即通过调节可调检测器的参数可以实现Rao和Wald的检测概率之间的转换，其中，参数越小，其检测性能越低，参数越大，检测性能越高。
(a) γ=0
(b) γ=1
(c) γ=0.3
(d) γ=0.5
(e) γ=0.7
图2 可调检测器在不同参数下的检测概率与信噪比的关系曲线
(a) γ=0
(b) γ=1
(c) γ=0.3
(d) γ=0.5
(e) γ=0.7
图3 可调检测器在不同参数下的分类概率与虚警概率的关系曲线
(a) γ=0
(b) γ=1
(c) γ=0.3
(d) γ=0.5
(e) γ=0.7
图4 可调检测器在不同参数下的分类概率与信噪比的关系曲线
图3与图4给出了检测器的分类性能，其中图3为检测器的分类概率与虚警概率的关系曲线，图4为检测器的分类概率与信噪比的关系曲线，从图中可以看出，Rao检测器的分类概率高于Wald检测器，并且得到与图1、图2相近的结论，即可调检测器可以通过改变参数实现Rao和Wald检测器之间的分类性能转换，其中，大参数对应低分类性能，小参数对应高分类性能。
(a) Rao
(b) Wald
(c) 可调检测器γ=0.5
图5 分类概率等高线图
图5给出了Rao、Wald与可调参数γ=0.5时的可调检测器的分类概率的等高线图。从图中可以看出，在相同的信噪比下，Rao检测器的检测概率高于Wald检测器，但是Wald检测器具有更好的选择性，即Wald检测器的检测概率对失配程度cos2θ更加敏感。此外，可调检测器则可以通过调节参数来改变检测器的选择性，如图5(c)给出了参数γ=0.5时的可调检测器的分类概率等高线图，可以看出此时可调检测器的选择性位于Rao和Wald检测器之间，其选择性的改变在图6中得到更清晰的展示。
(a) γ=0
(b) γ=1
(c) γ=0.3
(d) γ=0.5
(e) γ=0.7
图6 可调检测器在不同参数下的分类概率与失配程度的关系曲线
图6给出了在信噪比固定的情况下，检测器的分类概率与失配程度的关系曲线。从图中可以更直观地看出，Rao检测器的分类概率高于Wald检测器，但是其选择性不如Wald检测器，而可调检测器通过调节参数，可以实现选择性的灵活改变，其中大参数对应更优的选择性，小参数对应更优的鲁棒性。
4 结束语
针对联合子空间信号检测问题，本文分别基于Rao和Wald检验准则推导了UoS-Rao和UoS-Wald检测器，通过引入可调参数，设计出一个可调联合子空间检测器(UoS-Tunable)，并分别推导出其检测统计量和分类统计量的边界。所提检测器能够有效实现联合子空间目标检测，并且所提可调联合子空间检测器可以通过改变参数来灵活调节检测器的检测性能、分类性能与选择性，具体为当可调参数较小时，可以提高检测器的检测性能与分类性能，并会提高其对信号失配的鲁棒性；当可调参数较大时，则会降低检测器的检测性能与分类性能，但会提高其对于信号失配的选择性。最后，仿真实验验证了所提方法的有效性。
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