0 引言
随着电子对抗技术的不断成熟和发展，雷达波形设计成为了雷达研究领域的热点。学者们通过设计具有低距离旁瓣的雷达发射波形来提升雷达的检测性能；而干扰信号经过滤波器后的输出水平可用滤波器与干扰信号协方差矩阵的二次型表示，通过最小化干扰输出功率可提升雷达的抗干扰性能。
很多学者基于模糊函数来设计发射波形。文献[1]采用半正定规划(Semi-Definite Programming, SDP)的方法最小化旁瓣电平，设计在强杂波环境下可被探测的宽带恒模信号，文献[2]提出一种FADPM方法(Fractional-Alternating Direction Penalty Method)，通过对模糊函数的旁瓣控制来保证雷达的探测性能，文献[3-5]分别采用极大极小算法(Majorization-Minimization, MM)、梯度下降算法(Gradient Descent, GD)和循环算法最小化积分旁瓣电平(Integrated Sidelobe Level, ISL)，但这些研究都只涉及到距离旁瓣的抑制。考虑到雷达对抗干扰的能力，文献[6-9]对稀疏信号的功率谱密度和自相关函数性能同时进行优化，设计稀疏频谱波形，可使雷达避免被其他辐射源信号干扰，且具有较强的探测弱小目标的能力，但这些文献的研究都是针对同频干扰的情况。
本文设计可对抗压制干扰的相位编码信号作为发射信号，将干扰信号经匹配滤波器的输出功率写进目标函数，联合最小化发射信号距离旁瓣和干扰信号输出功率，采用ADMM算法求解，使得雷达兼具良好的目标探测性能和抗干扰性能。同时，考虑到ADMM算法运算量大、计算复杂的问题，本文结合PMLI算法提出一种新的CA法求解问题模型。
1 信号模型
压制式干扰就是采用干扰发射机发射大功率的噪声干扰信号或密集假目标信号，使干扰信号进入雷达接收机，使有用的回波信号被噪声或假目标覆盖，造成雷达接收机信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)大幅下降，从而使雷达检测或跟踪不到目标[10]。压制干扰可分为射频噪声干扰、噪声调幅干扰、噪声调频干扰、噪声调相干扰等形式，本文仅以噪声调频信号为例。
一般噪声调频干扰的时域表达式可表示如下：
(1)
式中，U0为噪声调频信号的幅度，f0为噪声调频信号的中心频率，KFM为调制过程中的调频斜率，其被积函数为调制噪声u(t′)，一般地，它是均值为零、且广义平稳的随机过程，φ0为随机变量，在[0,2π]内均匀分布，且与u(t)相互独立。
一个M点的相位编码信号序列可表示为
s=[s0,s1,…,sM-1]T=[ejφ0,ejφ1,…，ejφM-1]T,s∈CM
(2)
发射信号旁瓣协方差矩阵为
(3)
式中Jp为转移矩阵，定义为
所以发射信号距离旁瓣可表示为
ISL=sHQss
(4)
设干扰信号协方差矩阵为RJ，RJ∈CM×M，干扰信号经匹配滤波器的输出功率为
PJ=sHRJs
(5)
折中考虑干扰信号功率和发射信号旁瓣，引入权系数λ，那么离散相位形式约束下的联合最小化干扰信号输出功率和发射信号距离旁瓣问题模型可表示为
(6)
式中K为离散相位个数。
2 求解目标函数2.1 ADMM
问题P1的目标函数可改写为如下形式：
(7)
在该问题中引入辅助变量z和约束s=z，问题P1即可表示为
(8)
根据问题P2写出增广拉格朗日方程：
Lρ(s,z,ar,ai)=
(9)
式中ar和ai为拉格朗日乘子，ρ为二次惩罚项系数。记u=(ar+jai)/ρ，则式(9)可重写为
Lρ(s,z,u)=
‖s-z+u‖2-‖u‖2
(10)
记s(t)，z(t)，u(t)为第t次迭代后的值，各值更新如下：
1) 更新s，此时将z(t)，u(t)视为已知量：
(11)
这是一个无约束优化问题，使用基于内部映射牛顿法的子空间置信域法求解。令
(12)
(13)
(14)
利用式(12)～ (14)将目标函数式(11)由复数形式转化为实数形式：
(15)
对目标函数求梯度：
(16)
对上述问题进行求解得到的
需要转化为复数形式进行后续计算。
2) 更新z，此时将s(t+1)，u(t)视为已知量：
(17)
z的更新公式为
(18)
3) 更新u：
u(t+1)=u(t)+s(t+1)-z(t+1)
(19)
ADMM求解优化问题模型的步骤如表1所示。
2.2 CA
2.1节中的ADMM算法在更新s时需要进行
表1 ADMM求解优化问题P2步骤
算法:ADMM求解离散相位约束下联合最小化干扰功率和信号旁瓣算法模型Step 0:以式(1)产生噪声调频干扰信号,计算其协方差矩阵RJ;初始化发s(0)、z(0)和u(0),设迭代次数t=0;Step 1:更新s,以式(15)求解s-(t+1);Step 2:将 s-(t+1)转化为复数形式的s(t+1),以式(18)更新z;Step 3:根据式(19)更新u;Step 4:设收敛门限为Δ,最大迭代次数为tmax,重复Step 1～3,并令t←t+1,直到满足‖s(t+1)-z(t+1)‖22<Δ或t=tmax时迭代终止。
数据形式的转化和梯度的计算，运算量大，计算时间长。针对这一问题，本小节将在ADMM方法的基础上作改进。
对于发射信号s的更新，
s(t+1)=
‖s-z(t)+u(t)‖2
(20)
令r=(z(t)-u(t))s-1，忽略常数部分，式(20)可表示为
s(t+1)=
(21)
式中
那么求解发射信号s可表示为
(22)
文献[11]提出一种PMLI法可进行求解。定义
且σ大于
的最大特征值。那么求解式(22)即求解：
(23)
这样可通过在每次迭代时求解如下最近向量问题来更新发射信号s：
(24)
显然其最优解为
s(t+1)=Rds(t)
(25)
在原ADMM算法的基础上引入PMLI方法，新的复合算法克服了ADMM算法在更新s时计算复杂的问题，减少算法计算时间。
复合算法求解DPCQP问题的步骤如表2所示。
表2 CA求解优化问题P2步骤
算法:CA求解离散相位约束下联合最小化干扰功率和信号旁瓣算法模型Step 0:以式(1)产生噪声调频干扰信号,计算其协方差矩阵RJ;初始化发射信号s(0)、z(0)和u(0),设迭代次数t=0;Step 1:更新s,以式(25)求解s(t+1);Step 2:以式(18)更新z;Step 3:根据式(19)更新u;Step 4:设收敛门限为Δ,最大迭代次数为tmax,重复Step1～3,并令t←t+1,直到满足‖s(t+1)-z(t+1)‖22<Δ或t=tmax时迭代终止。
3 仿真结果与分析
参数设置：压制干扰信号是幅度为1、中心频率为0的噪声调频干扰信号，其调频斜率KFM=1.5×107，初始相位为[0,2π]内的随机值。设发射信号长度M=100，信号采用离散相位编码调制方式，离散相位个数K=32，权系数λ=10，初始的发射信号为随机产生的相位编码信号。定义干信比
初始的干信比为9 dB。
从图1的脉压结果可以看到，初始的发射信号被压制干扰淹没，目标无法被检测，而优化后干扰被抑制，信号能够被检测到，两种优化算法得到的发射信号波形均可提升雷达对抗压制干扰的能力。
(a) 优化前
(b) ADMM优化后
(c) CA优化后
图1 优化前后信号脉压结果
雷达的探测性能由距离旁瓣水平衡量，优化前后发射信号的自相关处理结果如图2所示。从图2可以看出，两种算法优化后的信号旁瓣均降低，雷达探测弱小目标的能力得以提升。
(a) 优化前
(b) ADMM优化后
(c) CA优化后
图2 优化前后发射波形自相关处理结果
下面对比两种优化算法的性能。在Intel i5-9400HQ CPU、16G内存、Matlab2016a仿真平台下，进行100次蒙特卡洛实验取平均值，两种算法的运算时间、干扰输出功率减少量ΔPJ、信号旁瓣减少量ΔISL如表3所示，ADMM和CA优化的目标函数迭代曲线如图3所示。
表3 两种算法性能对比
优化算法运行时间/sΔPJ/dBΔISL/dBADMM22.937.845.25CA0.688.623.99
图3 两种算法迭代曲线
两种算法均能收敛，CA抑制旁瓣的能力不及ADMM算法，但对抗干扰的能力强于ADMM，这是由于CA中发射信号s的更新取决于矩阵Rd，在强干扰环境下，干扰信号对Rd的影响要远大于发射信号，而ADMM算法中s的更新是采用拟牛顿法，每一次迭代时只要求知道目标函数的梯度，受到梯度变化量的影响而非梯度本身数值大小。本文提出的ADMM和CA两种算法均可提升雷达的抗干扰性能和探测性能，但CA相对ADMM算法计算速度有了30多倍的提升。
4 结束语
本文以联合最小化干扰信号输出功率和发射信号距离旁瓣为准则建立目标函数，采用ADMM算法求解，设计具有较低距离旁瓣并能对抗压制干扰的相位编码波形。针对ADMM算法中更新发射信号时计算量大、运算复杂的问题，提出一种新的CA算法。仿真结果表明，本文提出的两种算法均能提升雷达的探测性能和抗干扰性能，CA算法在旁瓣抑制方面弱于ADMM算法，但抗干扰能力强于ADMM算法，且计算速度相对ADMM算法有很大提升。
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