0 引 言
合成孔径雷达（Synthetic Aperture Radar,SAR）是一种通过发射电磁波信号观测物体的传感器元件，具有全天时、全天候的工作特点。在单基SAR数据接收期间，雷达的运动可以分为三个主要阶段［1］:发射一定脉冲宽度的线性调频信号脉冲期间，从发射器发射完信号到接收机接收信号前，以及接收信号期间。其中，第一、三阶段称为脉内运动，第二阶段称为脉间运动［2］。在传统雷达成像过程中，由于雷达平台的飞行速度不大，但是电磁波传播速度是光速，因此传统成像算法通常是基于“停走停”假设，不考虑脉间和脉内运动，即近似认为雷达平台在接发信号期间没有位移。
随着SAR 的应用领域不断拓宽，现阶段逐渐在卫星、导弹等航天航空领域取得更广阔的应用。基于星载［3］、弹载［4］的SAR 平台具有高速飞行的运动特点，因此传统“停走停”假设下，一些误差便无法忽略［5］。例如我国发射的高分三号卫星，其轨道运行速度和高度远高于普通飞机，因此卫星在发射脉冲期间存在位移，该位移会引起方位位置的m级偏差。此外，随着高速平台分辨率的提高，除了目标位置的偏差外，还会影响聚焦。
现有文献考虑脉内运动大多集中在雷达发射调频连续波（FMCW）SAR 上［6-7］，该发射信号可以视为占空比为1的脉冲调频信号，其特点是测量距离较短，容易被干扰，在星载弹载等高空高速平台的应用上劣势较大［8］。而脉冲雷达适合长距离测距，且抗杂波能力较强，相比连续波雷达更适合在高空高速平台［9］。本文基于脉冲雷达建立精确回波模型，对高空高速条件下的脉内多普勒效应进行分析，并提出补偿方法。
1 模型分析
1.1 传统“停走停”几何模型分析
传统聚束式SAR雷达模型［10］如图1所示，坐标轴XOY 为地面，机载雷达沿X 轴方向飞行，假设飞行速度保持匀速直线。成像场景为橙色区域部分，对场景中点目标N()XN,YN,ZN 进行成像。飞机与目标距离为R，目标与航迹最近点距离为RN，其夹角为θ，俯仰角为φ。
图1 “停走停”几何模型
传统“停走停”模型基于雷达在发射和接收信号期间不存在位置变化，使得信号的单程距离历程为R(t)。此时，传统“停走停”模型的距离历程可以表示为
式中，t 为时间变量，RN=
，v 为雷达平台飞行速度。在雷达成像过程中，把时间变量t 进行分解，一般分解为方位向时间和距离向时间:
式中，tr 为距离向时间，也称快时间，tm 为方位向时间，也称慢时间。在传统模型中，由于脉冲持续时间内雷达的运动距离相对较短，在距离历程的计算上可以忽略快时间的影响。假设信号传播速度为光速，大小为c=3 × 108 m s，则在传统“停走停”模型下，近似的距离历程和时间延迟分别为
1.2 雷达脉间运动几何模型分析
聚束式雷达脉间运动模型如图2 所示。图中雷达在P1 处发射信号，在P2 处接收信号。在只考虑脉间运动的情况下，通常可以认为雷达发射脉冲宽度很小的冲激信号。因此，脉间运动模型的3个运动阶段只有第二阶段，忽略第一、三阶段的影响。
图2 脉间运动几何模型
由于雷达接发信号位置发生了变化，可以近似认为是双基雷达成像。其中一个雷达卫星在P1发射信号，另一个同速卫星在P2接收信号。因此，在脉间运动条件下会发生“双基效应”。对于双基雷达成像问题，通常取双基雷达的等效相位中心，认为雷达在相位中心处接发信号，再利用传统“停走停”算法模型。解决双基效应带来的成像问题，上述方法也同样适用。
1.3 大场景下雷达脉间运动几何模型分析
在大场景条件下，假设发射信号为脉宽很窄的冲激信号，模型如图3 所示。雷达在P1 处发射信号，由于雷达的高速运动，对于场景距离飞行轨道较近的目标，其回波在P2处被雷达接收，而距离飞行轨道较远的目标其回波则在P3处被接收。
图3 大场景脉间运动几何模型
大场景下脉间模型与上一节模型相类似，需要考虑“双基效应”，只是不同的接收位置导致其等效相位中心发生改变。文献［9］提出利用多通道方法解决大场景下高速雷达成像问题，算法效率不高，本文重点介绍脉内多普勒效应的补偿和成像方案。
1.4 雷达脉内运动几何模型分析
聚束式高空高速脉内雷达［11］精确模型如图4所示，图中红色区域为发射信号持续时间，对应于雷达运动的第一阶段，蓝色部分为接收信号持续时间，对应于雷达运动的第三阶段。这两部分运动为脉内运动。接发信号中间的位移则对应于雷达运动的第二阶段时间产生的位移，即脉间运动。
图4 脉内运动几何模型
脉内多普勒效应是由雷达平台在接发信号期间运动造成脉冲宽度发生变化，从而对成像结果产生影响，如图5 所示。其中图5（a）和（b）是飞机朝目标运动发射和接收信号的示意图，图5（c）和（d）是飞机远离目标运动发射和接收信号示意图。图中的箭头方向代表信号传播方向，飞机方向代表径向速度方向。可以发现，当飞机远离目标运动时，信号的宽度得到了拉伸，当飞机朝目标运动时，信号宽度被压缩了，这一点在后面对信号回波进行分析时也可以得到理论验证。这种信号宽度的变化，造成了脉内多普勒效应，需要对该效应进行补偿。
图5 多普勒效应对脉冲宽度的影响
考虑雷达脉内运动，高空高速雷达发射信号精确回波模型要将式（3）代入式（1），得到
通过取等效相位中心，可以认为在接发期间雷达仍然是在相位中心点处保持不动，即整个过程tm没有变化，此时只考虑距离向快时间对时间延时的影响。时间延时模型简化为
2 “停走停”模型的误差分析
2.1 时域误差分析
假设雷达发射信号表达式为
式中，rect(·) 是脉冲矩形包络，Kr是调频斜率，大小为Br/Tp，即信号带宽和信号脉宽的比值，fc 为载频。且快时间tr 的范围是[-Tp/2,Tp/2]，关于0 时刻对称。当脉冲信号照射到点目标反射回波后，得到的回波表达式，即回波模型为
式中，wa(tm)代表方位向天线方向图，和慢时间tm有关，对成像结果影响不大，本文后面忽略其影响。τ 是时间延时变量，在传统“停走停”模型下，表达式（9）中的时间延时为
式中，Rtrad 是传统“停走停”模型下的距离历程，其表达式如式（4）所示，与方位向时间有关。得到解调后的传统“停走停”回波表达式为
在脉内运动模型中，对式（7）在快时间tr=0处泰勒展开，表达式为
式中，vr是雷达径向速度，大小为v sin θ，θ是雷达到目标位置和雷达到目标最近点位置之间的夹角，如图2 所示。令α=1-2vr/c，β=2Rtrad/(c-2vr)，将泰勒展开的式（12）代入式（9），整理得到解调后回波表达式为
雷达正确聚焦位置为τtrad=αβ。式（13）即为脉内模型下近似回波表达式。
第一项是回波的矩形窗包络，其宽度由α和Tp决定。在传统假设条件下，α=1，因此回波宽度没有发生变化。在精确脉内模型条件下，当雷达径向速度和信号传播速度同向时，α ＜1，则回波宽度大于Tp，如图5（d）所示。同理可得，当径向速度和信号传播速度相反时，回波宽度小于Tp，如图5（b）所示。
第二项是关于快时间的指数项，相比于传统“停走停”模型，首先是调频斜率发生变化，变为传统模型的α2 倍。其次是回波时间延时发生改变，即聚焦位置发生变化。传统模型下时延在τtrad=2Rtrad/c 处，考虑脉内运动后时延在τnew=β+(α-1) fc/α2Kr处。时延发生变化将导致成像结果的位置变化，需要在频域进行具体分析。
回波的第三项只包含方位向时间，在后续频域处理中会引入徙动误差。第四项指数函数在空不变假设条件下可以认为是常数，对成像结果没有较大影响。
对于式（12）中的τ 展开到一次项是一个比较合理的估计，其误差可以表示为
对于时延误差可容忍的条件是满足其小于一个距离分辨单元，即不超过1/Br=1.6 × 10-9 s。图6 展示了时间延时近似的合理性，因此精确脉内模型的时间延时可以用τcv代替精确的τ。
图6 泰勒一阶展开导致的时延误差
2.2 距离处理误差
对回波信号式（13）作距离向傅里叶变换，在相位历史域观察信号，其表达式如下:
式中，fr是距离频域变量，其范围为fr ∈[(α-1) fc-αKrTp/2,(α-1) fc+αKrTp/2]，带宽中心为(α-1) fc，带宽大小为αKrTp。与传统“停走停”模型相比，带宽中心发生了改变，带宽被伸缩了α倍。
在成像过程中，目标的位置和散焦不取决于包络信息。因此，在不考虑矩形窗包络情况下，分析回波式（15）相位，提取传统“停走停”模型在相位历史域部分，相位可以改写为
式中，φtrad(fr,tm)是传统模型下的相位，φres(fr,tm)是式（15）相位除了传统模型下相位多出的相位部分，其表达式分别为
表达式（18）中，在空不变假设下，由于第一项相位不含快时间和慢时间变量，因此可以认为是常数，对聚焦结果无影响。第二项相位含有方位慢时间，该项会影响方位向的成像结果，后续会再进行分析。第三项是关于距离频域一次项的相位部分，该部分会造成除式（17）中距离徙动以外的更大的徙动，影响距离向的聚焦位置。第四项是距离向额外散焦，会影响距离向的聚焦。
对于式（18）中第四项相位，讨论其可忽略条件，当满足忽略条件时，成像处理可以利用“停走停”近似。一般对于二次相位的可忽略条件是相位误差不超过π 4，可以认为没有额外散焦，条件如下:
此时径向速度vr需满足
定义距离分辨率ρr=c/2Br，则式（20）可以改写为
式（21）可以理解为在脉冲持续时间内，当雷达在径向速度条件下运动的范围不超过两个距离分辨单元时，可以认为聚焦结果没有额外散焦，在后续的匹配滤波过程中可以直接使用传统模型的匹配滤波器即可。
2.3 徙动误差
徙动误差主要由式（18）中含fr 一次项的相位造成，当表达式△R 满足如下条件可以忽略徙动误差:
经过计算，由于β 远小于fc/α2Kr，因此β 的影响可以忽略，此时得到径向速度满足条件
定义雷达径向的多普勒频移△Ba=2vr/λ，则式（23）可以改写为
式（24）中1/Tp是一个多普勒分辨单元。因此，径向速度造成的多普勒频移小于一个多普勒分辨单元的情况下可以忽略聚焦位置的变化。
3 脉内多普勒效应校正方法
本文的脉内多普勒效应补偿方法是在传统成像算法基础上提出的一种新的补偿多普勒频移的方法。具体算法流程图如图7所示。
图7 精确脉内模型下成像算法
其中，红色部分为本文提出的针对精确脉内模型的补偿方法。对解调后的回波信号进行距离向傅里叶变换，其结果如式（15）所示。本节考虑发射信号带宽为Br=60 MHz，脉冲积累时间Tp=200 μs，平台运动速度v=7 500 m s 的情况，根据式（20）可知，径向速度不能超过6 250 m s，因此距离向出现散焦，如图8（a）所示。利用式（25）匹配滤波器对信号匹配滤波后的结果如图8（b）所示。对比补偿前后距离时域方位频域的结果图，验证算法匹配滤波的有效性。
图8 匹配滤波结果对比
距离向位置变化需要对距离向进行粗校正，即对线性相位进行补偿，补偿相位项由表达式（26）和（27）给出。补偿前后的结果如图9（a）、（b）所示。
图9 相位补偿前后距离压缩位置对比
由图9可见，相位补偿前后距离压缩位置发生了变化，距离向的位置偏移得到了校正。经过匹配滤波，相位补偿后，信号在相位历史域的表达式为
此时的时域信号为
式（29）第一项可见，回波包络被聚焦在tr=β 处，导致距离徙动。该项需要在两维频域进行徙动校正。第二项是含有方位向的指数项，该项会造成方位散焦，需要在方位向对其进行匹配滤波。第三项在第一项tr=β 的影响下，是一个常数项，对聚焦结果没有影响。
对式（29）在方位向进行FFT，首先要将β 进行泰勒展开到tm 的二阶项，忽略空变性，其近似表达式为
式中，R0为tm=0时雷达距离场景中心的距离。利用驻留相位原理，计算方位向驻留相位点tm=-λRN fa/2v2，得到方位向频域近似表达式为
其中，将驻留相位点代入式（30），得到距离徙动造成的时间β(fa) 如下:
对式（31）进行距离向FFT 得到距离徙动项造成的误差大小为
因此，给定fa下的相位乘法器HRCMC为
经过式（34）距离徙动校正后，目标在距离向的位置得到了完全校正。
最后，对信号进行方位向压缩，设计匹配滤波器补偿式（31）中含有二次方位频域的相位，匹配滤波器为
如果对于更大斜视角或者大场景条件下，会存在方位向残余相位，也需要在方位频域中对残余相位进行补偿。补偿后得到最后的信号表达式为
式（36）即为最后成像结果，下一节将对本文算法与传统算法作对比，并进行仿真验证。
4 成像结果与分析
针对上述雷达平台条件，展现高空高速平台特点，以二维场景为例，本文仿真数据如表1所示。
表1 高空高速雷达成像仿真参数
参数载频fc脉冲宽度Tp脉冲带宽Br雷达速度v雷达最近点斜距R0脉冲采样频率PRF斜视角θ目标1目标2目标3取值10 GHz 100 μs 600 MHz 7 500 m/s 5 562 km 3 kHz 20°（0,0）（0,10）（10,0）
4.1 传统“停走停”模型成像结果分析
传统“停走停”模型BP 成像算法如图10 所示。对于传统算法，在第一步距离压缩过程中，利用式（31）的匹配滤波器可以将含有距离频域变量的二次项相位给消除。
图10 BP算法流程图
由第2 节可知，经过匹配滤波后，频域信号仍存在二次项残余，其可忽略条件满足式（20）。在表1 条件下，当径向速度小于1 250 m s 时，该残余二次项并不影响聚焦效果。因此传统匹配滤波器已经无法满足要求，需要设计式（25）匹配滤波器对信号进行脉冲压缩。
经过传统匹配滤波后，需要在方位向频域进行距离徙动校正和方位向压缩。根据式（23）计算参数条件，径向速度在不超过150 m s 条件下，聚焦位置不发生变化。而实际参数显然不能满足该条件。最终3 个点目标的聚焦结果如图11 所示，散焦很明显。
图11 传统BP成像结果
因此，传统“停走停”算法对徙动较大情况并不能很好地补偿解决，需要用脉内多普勒效应补偿方法解决该问题。
4.2 脉内多普勒效应补偿成像结果分析
利用本文提出的脉内多普勒效应补偿方法成像结果进行成像，结果如图12所示，聚焦位置分别为（0,0），（0,10），（10,0）。对比图11可见，聚焦效果得到了校正，和预设结果一样。
图12 本文成像算法结果
对3 个点进行点目标分析，检查聚焦效果，结果如图13所示，可见目标没有散焦。最后，针对图12 的3 个点，计算各自峰值旁瓣比（PSLR），得到它们的距离向和方位向归一化剖面图，如图14所示。PSLR 是最大旁瓣宽度幅值和主瓣宽度幅值比值，单位是dB，标准值为-13.6 dB。
图13 本文算法3个点目标成像结果
图14 3个点目标峰值旁瓣比
4.3 面目标成像结果
利用本文提出的脉内多普勒补偿方法，对SAR 面目标进行仿真。图15 分别展现原图，以及利用本文算法前后的成像结果对比，从而验证本文算法的可靠性和有效性。
图15 面目标仿真结果对比
5 结束语
本文分析了脉内多普勒效应下的模型情况，对比传统“停走停”近似模型，建立了脉内运动情况下的新的回波模型。针对“停走停”传统模型在脉内模型下的聚焦误差和位置误差，本文提出了新的解决方案。通过点目标仿真和实测数据仿真结果，验证本文算法的可行性，对上述误差可以较好地进行校正。
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