步进频率探地雷达快速超分辨成像方法

公路是城市交通网络的核心组成部分，承载着大量的车辆和货物运输任务。然而，长期使用和外部环境的影响导致公路路面常出现脱空、裂缝等问题，这不仅影响交通顺畅性，还对驾驶安全构成潜在威胁。因此，定期对公路及其地下设施进行检测和维护至关重要。探地雷达（Ground Penetrating Radar, GPR）凭借其无损、高效和高分辨率的优势［1］，正成为提升公路检测精确度和效率的关键技术。随着对公路探测深度和公路层间目标分辨率要求的提高，冲激体制GPR面临着日益增加的技术挑战，如根据不同探测深度需求选择合适频率天线的复杂性，以及频带与时宽的平衡问题。相比之下，步进频率体制GPR能够有效克服雷达探测深度和目标分辨率之间的矛盾，仅需利用一组天线就能适应不同深度的探测需求，因此被认为是最有发展前景的一种雷达信号体制［2］。

目前，步进频率信号的一维成像方法主要采用傅里叶逆变换（Inverse Discrete Fourier Transform，IDFT）方法。此外，还有目标抽取算法和宽带合成方法等［3］。然而，这些方法普遍存在分辨率不高的问题［4］，可能导致目标漏检的情况。因此，众多学者对步进频率高分辨成像方法进行了深入研究。文献［5-7］通过对步进频率波形进行设计，提出了脉内相位编码脉间步进频率信号模型，对步进频率子脉冲进行匹配滤波，得到粗高距离像，再经过IDFT运算，实现频域采样后的时域距离细化，从而得到精高距离像。但是，两次脉冲压缩增加了系统的复杂程度和运算量。文献［8］指出了在步进频率信号下目标的距离与频率偏移量成正比。文献［9-10］分别提出了ZOOM-FFT、FFT+FT等细化频谱的方法来提高频谱分辨率。以上方法虽然有效，但在公路结构的各层区分上仍显不足，因此迫切需要一种超分辨成像技术来解决这一问题。

近年来，随着压缩感知理论的不断发展，许多学者将其与雷达成像技术相结合，为超分辨成像提供了一种全新的思路。文献［11］提出了改进的正交匹配追踪方法用来估计探地雷达回波时延，但该方法不能区分较近的两个目标。文献［12］提出了一种利用原子范数重构步进频率一维距离像的方法，该方法具有高的距离分辨能力，但是也存在运算量较大的缺点。文献［13］提出广义稀疏迭代协方差估计q-SPICE方法，提供恒定的计算和存储成本，但其在抗噪声方面表现不佳。文献［14］提出了一种基于RNN的基追踪去噪方法，用于超分辨SAR层析成像。尽管该方法具有出色的超分辨能力，但是神经网络在解决大带宽信号时会消耗过多的资源，进而导致处理时间延长。

本文基于上述分析，提出改进的基追踪去噪一维快速超分辨成像方法。由于探地雷达往往只对十几纳秒内的目标感兴趣，首先利用连续细化傅里叶变换分析法（FFT+FT）细化频谱构造轻量的基矩阵，再利用目标在频域的稀疏特性构建稀疏方程，然后基于基追踪去噪方法求解稀疏方程，将其解与雷克子波褶积得到最终的一维超分辨像。

1 信号模型

电磁波在层状介质中传播时，经历了一系列复杂的反射和折射过程。对于公路层结构而言，当电磁波到层界面时，一部分能量在层界面发生反射，同时另一部分能量穿透层界面发生折射，向下继续传播。反射的能量在再次折射后，经过介质表面返回到空气中，这部分折射能量无损失地传播到接收机并被接收。最终，接收机捕获到的回波信号由多种成分组成，包括地面反射波、介质内部的层间折射波以及目标产生的折射波。具体传播示意图如图1所示［15］。

在图1中，εn、μn分别为第n层的介电常数和磁导率，n为公路结构层数。

图2为步进频率信号波形示意图。基于步进频率体制的探地雷达系统通过发射脉宽为Tp的窄带宽脉冲，每个脉冲的载频按照Δf均匀步进的方式变化，脉冲重复周期为Tr［16］。接收机接收回波信号后进行采样，再通过离散傅里叶变换处理即可精确地测量出频率偏移量的大小。再由文献［8］所指出的频率偏移量与目标距离具有正比例关系，通过分析和解释这些数据，可以精确计算出目标所在的位置。

对于有M个目标，径向距离分别为Rm，则回波信号表示为

式中，n=1,2,…,N表示第n个子脉冲，σm表示第m个目标的反射系数，f0为步进频率信号初始频率，Δf为步进频率间隔，e(n)为信号噪声，v为电磁波传播速度。目标距离Rm可以表示为［15］

式中，Zm为探地雷达探测剖面的第m个目标的纵向坐标值的大小，Xm为第m个目标的横向坐标值的大小。在公路层间传播电磁波时，需考虑介质层对传播速度的影响。电磁传播速度与磁导率和介电常数之间的关系为

令第m个目标单程时延τm为

则式（1）可以改写为

将式（5）展开可得

对于静止目标而言，其第一、二项中反射系数σm与时延τm为常数，即为常数项；而第3项则与子脉冲数n、时延τm有关，可视为时间点为τm，频率呈现离散线性变化的频域信号。根据步进频率信号特性，发射带宽为B的信号所对应的时延分辨率为

式中，N为子脉冲个数，Δf为步进频率间隔，B为子脉冲个数与步进频率间隔的乘积。而最大无模糊时延范围为

因此，可将式（8）进一步简化为

式中，fm∈[0,1)，σ′m为σmAm。

通过对式（11）进行分析，步进频率成像已经转化为求解σ′m以及fm的问题［12］。其中，σ′m为系数，fm为归一化频率。通过将式（11）进行离散傅里叶变换后，可知其在频域具有明显的稀疏特性。利用目标在频域的稀疏特性，我们可以将式（11）转化为以下稀疏方程来求解。

式中：x=[x1, x2,…, xL]T，xl表示对应l频率点的信号强度；‖·‖0是l0范数；ψ为基矩阵。鉴于目标的稀疏性，整个频域被划分为相等的L部分［17］。如此均匀分布的频率点的值为fl=2πl/L，l=0,1,2,…,L-1，相应的构造基矩阵ψ为［18］

2 算法描述

对于解决式（12）的问题，有3种主要的方法可供选择：一是贪婪迭代算法，通常是指一种通过贪心策略进行迭代优化的方法，但该方法可能陷入局部最优。二是基于贝叶斯框架提出的重构算法。虽然基于贝叶斯框架的重构算法在推断稀疏问题上具有一定优势，但也面临着计算复杂度高、先验选择困难、超参数调节等多方面的挑战和限制。三是凸优化算法，通过对凸函数进行优化，通常具有良好的数学性质和全局最优解的唯一性。在追求准确重构信号的探索中，基追踪去噪算法发挥着关键作用。基追踪去噪算法原理基于信号在某些基的稀疏性或低秩性质。通过这些方法，能够在含有噪声或失真的信号中，有效地提取出目标信号，从而实现信号增强或恢复的目的。基追踪去噪算法相对其他凸优化算法具有适用性广泛、灵活性强、收敛速度快等优点。

2.1 改进的基追踪去噪算法

根据最小l1范数在一定条件下和最小l0范数具有等价性，即可将式（12）转化为一个更加简单的线性规划问题：

但由于有噪声影响，不能准确地恢复信号。因此，通过基追踪去噪算法方法修改其约束条件，将式（14）问题可以转换为

式中，ε为调节允许误差与稀疏性之间平衡的参数，且

<ε，‖·‖2是l2范数。根据拉格朗日数乘法，可将式（15）等价为求解式（16）的问题：

其中，假设字典矩阵被归一化，使得

=1，根据经验设置λ=

，其中p是字典的基数，δ为噪声方差［18］。

虽然基追踪去噪算法具有高分辨、高精度的优点，但是当子脉冲数N和划分的频点数L增大时，势必会造成基矩阵ψ增大，导致求解式（16）问题的运算量增大，从而增加系统的运行时间。由于探地雷达往往只对十几纳秒内的目标感兴趣，因此可以采用细化探地雷达感兴趣区域的方法来降低样本长度，并提高分辨率。

提出算法的流程如图3所示。首先对式（11）中sr(n)进行离散傅里叶变换，其中n=1,2,…,N，根据峰值点所对应的归一化频率值，确定需要细化的频率区间[f1, f2]，然后对所设置的区间进行等间隔的细化，设置细化倍数为D，细化后的频率分辨率为

细化之后的频率序列fr为

再通过式（19）和式（20）计算细化后频谱的实部和虚部，得到频率序列的频谱S′(m)，其中m=1,2,…,D。

对细化后S′(m)进行傅里叶逆变换得s′r。除此之外，均分L′等份的归一化频率域[f′1, f′2]，这样所等分的频率点的值为

其中，l′=0,1,2,…,L′，则基矩阵ψ′为

将改进后的参数s′r和ψ′分别替换式（16）中的sr和ψ，即可以改写为

为方便求解式（23），将变量x′分成正负两部分，即可表示为

则有

，其中In=[1,1,…,1]T，再将式（23）转化为二次规划问题［19］

式（25）中的二次规划问题可以通过SeDuMi进行求解，得到最优解，分别记为u*和v*，则反射系数序列x′*=u*-v*。

2.2 褶积

探地雷达数据通常可假设为雷克子波与地下介质反射系数的褶积，即［2］

式中，b(t)为雷克子波，r(t)为地下介质反射系数，g(t)为探地雷达数据，*为褶积符号。因此，经过超分辨处理得到的反射系数序列与雷克子波进行褶积后，可以生成超分辨的一维像。

3 仿真分析与验证

3.1 仿真数据验证

仿真所用步进频率信号，初始频率 f0=200 MHz，子脉冲个数N=901，步进频率间隔Δf=2 MHz，合成带宽为1.8 GHz。褶积过程选取中心频率为6 GHz的雷克子波与超分辨后的反射系数序列进行褶积。

为验证本文算法的有效性和优越性，将本文算法与改进OMP算法［11］、q-SPICE算法［13］、基追踪去噪算法进行对比，并从估计精度、分辨率、抗噪声性能以及运算时间4个方面来分析验证算法性能。

仿真实验1 不同算法估计精度对比

假设雷达回波信号由5个回波分量构成，信噪比设置为15 dB，目标时延和反射系数如表1所示。图4为利用不同算法得到的时延估计结果示意图。

从图4的仿真结果可以看出，改进的OMP算法不能区分3.33 ns与3.50 ns位置处的两个目标，且其他目标的位置和幅度均存在一定偏差；q-SPICE算法虽然可以区分5个目标，但幅值估计不准确；而本文提出的改进基追踪去噪算法可以较为准确地重构目标位置和幅值，与改进的OMP精度提升0.09 ns，与q-SPICE精度提升0.08 ns，与基追踪去噪算法效果基本一致，保留了基追踪去噪算法的优良特性。

仿真实验2 不同算法分辨率对比

为了更详细地评估不同算法在分辨率性能上的优劣，研究中将雷克子波与图4中不同算法生成的反射序列进行褶积运算，可得回波结果如图5所示。为了衡量各算法的分辨率特性，借鉴了频谱分析中有效带宽的概念，采用峰值下降到峰值的二分之根号二处的时延作为衡量标准。这种方法类似于频谱中功率谱密度下降3 dB定义有效带宽的做法，考虑了算法输出中主要响应的时间范围。通过这种定义，能够更清晰地理解和比较不同算法在时间域分辨率方面的表现。因此，对图5中褶积后的波形通过取峰值二分之根号二处的时延，可得到不同算法的分辨率，如表2所示。通过图5与表2可知，改进的OMP与q-SPICE分辨率较差，不能满足地下目标的探测，而本文提出的改进基追踪去噪算法分辨率为0.070 3 ns，与基追踪去噪算法分辨率基本一致，相对于改进的OMP提升6~7倍，相对于q-SPICE提升2~3倍，具有超分辨的性能。除此之外，结合图4与表1所得结果可知，仿真所设置的目标1和目标2时延相差0.17 ns，改进的OMP的分辨率无法区分两个目标；q-SPICE分辨率与之相近，虽然可以略微分辨出两个目标，但是目标所对应的位置与幅度均存在一定的偏差，效果很不理想；而本文算法与基追踪去噪算法分辨率小于目标时延差，因此可以较好地分辨出这两个目标，与所设真实目标位置与幅度均基本一致，展现出了超分辨能力。通过对不同算法的分辨率分析，也印证仿真实验1结果分析的正确性。

仿真实验3 不同算法抗噪声性能对比

本仿真主要验证不同算法在不同信噪比条件下的性能。图6为不同信噪比条件下不同算法均方根误差对比。通过图6可知，改进的OMP与q-SPICE抗噪声性能较差，而本文所提出的改进的基追踪去噪算法具有较高的时延估计精度，显示出较强的鲁棒性能。

仿真实验4 不同算法运行时间对比

首先，对不同算法进行复杂度分析是评估算法性能的关键所在。通过分析算法在处理不同规模输入时所需的时间资源，能够量化和比较算法的执行效率。这种分析可以帮助理解算法的运行速度是否足够快以满足实际需求。此外，复杂度分析还可以指导优化算法，通过减少复杂度来提高算法的执行效率。因此，通过深入的复杂度分析，即能够预测算法在处理大规模数据时的表现。假设稀疏度为M，原始信号长度为N，基矩阵中原子的数量为L。改进的OMP算法的复杂度主要由3部分组成：首先，在每一步选择与当前残差最相关的原子需要O(L)的计算；其次，更新残差涉及O(N)的操作；最后，通常需要进行M次迭代。因此，改进的OMP算法计算总复杂度约为O(MNL)。q-SPICE算法运算量包含协方差矩阵的计算、梯度计算以及解决加权最小二乘问题的计算，而计算样本协方差矩阵和计算梯度的复杂度分别为O(N2L)和O(NL)，解决加权最小二乘问题的复杂度为O(L3)，因此总复杂度为O(N2L+NL+L3)；基追踪去噪算法运算量主要来自对式（16）所示优化问题的求解，涉及矩阵与其转置矩阵的乘积，计算复杂度约为O(NL2)；而本文所提算法因减小了基矩阵的大小和原始信号长度，计算复杂度为O(DL′2)。由D<N和L′≤L，总结上述4种算法的复杂度由小到大排序为：改进OMP算法<本文算法<基追踪去噪算法

为验证本文算法具有快速的性能，仿真设置条件与仿真实验1中所设条件一致，统计次数设置为15次，图7为不同算法耗时结果图，表3为不同算法仿真平均计算时间。通过图7与表3可知，虽然改进的OMP计算时间最短，但其分辨率较差，进而可能导致目标漏检；q-SPICE与基追踪去噪算法运行时间较长不适于快速的信号处理；而本文算法兼顾高分辨与快速的优点，与基追踪去噪算法相比，运行时间下降10~15倍。

综上所述，在估计精度性能上，本文算法能够精确估计目标时延和反射系数，相较于改进的OMP、q-SPICE精度分别提升0.09 ns、0.08 ns；在分辨率性能上，本文算法保留了基追踪去噪算法的超分辨性能，其分辨率为0.070 3 ns，优于改进的OMP和q-SPICE的分辨率性能；在抗噪声性能上，本文算法在低信噪比的情况下仍能较为准确地估计目标时延，显示出较强的鲁棒性能；在算法复杂度和运行时间性能上，本文算法展现出了较小的复杂度和较短的运行时间，平均运行时间为3.886 4 s。虽然运行时间略高于改进的OMP，但在估计精度和分辨率方面均优于改进的OMP。

3.2 实测数据验证

为了验证算法在实际场景的性能，实验系统由是德科技N9918A FieldFox手持微波分析仪外接单极子单发单收空耦天线和PC机组成。设置频点数为901，频率范围为200 MHz～2 GHz，步进间隔为2 MHz。实测场景图如图8所示，场景为沙土中放置金属球，沙土的相对介电常数为3~6。图9给出了基于不同算法的B-scan及单道波形图。从图9可知，传统IDFT算法与改进的OMP算法较难分辨出沙地表面的轮廓信息，且目标金属球不清晰；q-SPICE算法可以分辨出沙地表面的轮廓和目标金属球的位置，但目标金属的精确位置较难判断；而本文算法可以较为清晰地得到沙地表面位置以及目标金属球的位置，目标位于2.35 ns左右，这与实际情况相符合。图9（e）中蓝框内为沙地表面位置，红框内为目标金属球位置。

对于低频段的探地雷达波长较长，穿透力强，可深入地下探测目标；高频段波长短，穿透力弱，但分辨率高。为验证本文算法在低频段和高频段性能，保持上述条件不变，选取中心频率400 MHz、带宽400 MHz和中心频率800 MHz、带宽800 MHz的两组步进频率回波数据进行验证。从图10（a）、（b）可知，传统IDFT算法较难看出深层信息，但本文算法可以看到深度8.33 ns左右的信息，验证了低频段穿透能力强的特点。同样，从图11（a）、（b）可知，传统IDFT算法虽然能够看到浅层信息，但分辨率不高；而本文算法可以清楚地看出浅层信息，具有高分辨的优点。

4 结束语

该方法通过将一维距离成像问题转化为频率估计问题，并结合探地雷达探测区域和目标频域的稀疏特性实现了快速超分辨稀疏重构。仿真与实测数据分析结果表明，本文方法具有快速、超分辨、抗噪声性能强等优点，相较于改进的OMP和q-SPICE精度提升约2%；相较于基追踪去噪方法运行速度提升10~15倍，对于工程实现具有很好的参考价值，目前已用于我们开发的步进频MIMO探地雷达系统中。

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