异点L型双基地EMVS-MIMO雷达高精度2D-DOD和2D-DOA估计

近年来，众学者对集中式双基地MIMO雷达中的角度参数估计问题进行了深入研究［1-5］。典型的双基地MIMO雷达中的阵元是标量阵元，仅可以进行DOD和DOA估计，极化角和极化相位差无法获得。对于三正交电偶极子和三正交磁偶极子结构的电磁矢量传感器（Electromagnetic Vector Sensors，EMVS），其特殊的结构特性可以获得目标的极化角和极化相位差［6-10］。目前对双基地EMVSMIMO雷达中发射四维参数和接收四维参数的研究主要分为两类算法：子空间类算法和张量分解类算法。在文献［11］中，Chintagunta等人首先提出旋转不变算法，该算法基于空间旋转不变特性和构建EMVS的空间响应来分别实现对2D-DOD，2DDOA，2D-TPA（Transmit Polarization Angle）和2DRPA（Receive Polarization Angle）的估计。为降低算法求解的复杂度，文献［12］提出传播算子算法，具体通过构造低维数据来拟合真实的信号子空间。但文献［11-12］都面临着2D-DOD和2D-DOA的角度参数配对问题。文献［13］提出修正的传播算子算法，该算法在保持求解低复杂度的同时实现了2D-DOD和2D-DOA自动配对。文献［14］利用稀疏L型阵列结构的空间旋转不变关系来提升双基地EMVS-MIMO雷达中2D-DOD和2D-DOA的参数估计性能，但有较高的计算复杂度，对于M元发射EMVS和N元接收EMVS，双基地EMVS-MIMO雷达的单快拍阵列接收数据的维度为ℂ36MN×1。文献［15］通过空间平滑技术对相关信源进行DOD和DOA估计。文献［16］采用极化多样性平滑技术进行阵列接收数据的解相关处理。文献［17］把EMVS的空间响应矩阵和接收信号矩阵进行结合来实现相关信源协方差矩阵的满秩恢复，然后采用旋转不变技术获得目标的DOD和DOA。文献［18］基于广义空间平滑矩阵有效地进行了相关信源的2D-DOD，2D-DOA，2D-TPA和2D-RPA的估计。文献［19］将接收数据重新排列成三阶张量结构，然后利用平行因子进行分解。文献［20-22］进一步地把平行因子分解算法和稀疏阵列结构、降维变换技术以及差分阵列结构相结合，以此来提升双基地EMVS-MIMO雷达中非相关信源的参数估计性能。文献［23］通过利用平行因子分解算法有效地处理了任意阵元结构约束下双基地EMVSMIMO雷达中相关信源的发射四维参数和接收四维参数估计问题。文献［24］进一步考虑接收数据排列成四阶张量结构，通过利用高阶奇异值进行分解，解决均匀线性发射/接收阵列和非折叠互质发射/接收阵列下的多维参数估计问题。

从以上分析可以看出，基于双基地EMVS-MIMO雷达的2D-DOD和2D-DOA的估计方法，子空间类算法和张量类算法均是基于半波长阵元间距的发射EMVS和接收EMVS进行信号建模。在这些算法中，发射/接收方位角的参数估计主要依赖于EMVS的空间响应矩阵而非阵列的空间旋转不变特性。因此，无法对发射/接收方位角实现高精度的估计。同样地，文献［25］提出的稀疏发射/接收阵列结构能够进一步地提升发射/接收俯仰角估计性能，但是发射/接收方位角的参数估计仍然依赖于EMVS独特的空间响应矩阵。

针对上述问题，本文提出一种异点L型EMVS发射/接收阵列结构，在提升角度估计性能的同时保持算法求解的较低计算复杂度。该结构通过把一个集中式EMVS分为三正交电偶极子和三正交磁偶极子，并将三正交电偶极子和三正交磁偶极子分别排列在L型阵列两个相互正交的轴上。相比于共点式EMVS发射阵列和接收阵列，本文提出的异点L型阵列结构在相同发射阵元和接收阵元条件下，能够节省一半的电偶极子和磁偶极子，单快拍阵列接收数据的维度降低到ℂ9MN×1，因此，阵列接收数据的维度可以降低1-9MN/36MN=75%。为实现高精度角度估计，本文采用具有自动参数配对特性的旋转不变技术进行求解。同时，通过对广义EMVS空间响应的构建，利用极化旋转不变特性实现对2D-TPA和2D-RPA的求解。

文中(·)T, (·)H, (·)-1和(·)†对应转置、共轭转置、矩阵求逆和矩阵伪逆；⊕,⊗,⊙和∘对应Hadamard积、Kronecker积、Khatri-Rao积和矢量外积；I和1对应单位矩阵和全1矩阵；∠和real(·)对应取角度和取实部。

1 信号模型

如图1所示，本文提出基于异点L型三正交电偶极子和三正交磁偶极子结构作为双基地MIMO雷达的发射阵列和接收阵列。对于L型发射/接收阵列，在笛卡尔坐标系中的y轴方向均为三正交电偶极子，x轴方向均为三正交磁偶极子。其中，L型发射阵列中y轴方向的三正交电偶极子的个数为M2, x轴方向的三正交磁偶极子的个数为M1，发射阵列的个数M=M2+M1, Dtx≫λ/2表示发射EMVS沿x轴方向的阵元间距，Dty≫λ/2表示发射EMVS沿y轴方向的阵元间距；L型接收阵列中y轴方向的三正交电偶极子的个数为N2, x轴方向的三正交磁偶极子的个数为N1，接收阵列的个数N=N2+N1，Drx≫λ/2表示接收EMVS沿x轴方向的阵元间距，Dry≫λ/2表示接收EMVS沿y轴方向的阵元间距。并且，Dtx，Dty，Drx和Dry均为半波长的整数倍。

为分析异点EMVS的信号模型，本文首先给出共点式EMVS的空间响应

式中，θ∈[0, π)表示目标的俯仰角，ϕ∈[0,2π)表示目标的方位角，γ∈[0,π/2)表示目标的极化角，η∈[-π,π)表示目标的极化相位差。因此，异点L型阵列沿x轴方向三正交磁偶极子的空间响应为

，沿y轴方向三正交电偶极子的空间响应为

假设空间非相关目标的个数为K，对于异点L型发射阵列和接收阵列，第k个目标的发射阵列和接收阵列导向矢量可以表示为

式中，utk=cosϕtksinθtk和vtk=sinϕtksinθtk分别表示发射EMVS沿x轴方向和y轴方向的方向余弦，urk=cosϕrksinθrk和vrk=sinϕrksinθrk分别表示接收EMVS沿x轴方向和y轴方向的方向余弦。并且，utk, vtk, urk, vrk的取值范围均为-1≤utk, vtk, urk, vrk≤1,k=1,2,…,K。

对于异点L型发射阵列和接收阵列，其发射EMVS和接收EMVS的导向矢量可以表示为

令Qt=[qt1, qt2, …, qtK]表示发射EMVS导向矩阵，Qr=[qr1, qr2, …, qrK]表示接收EMVS导向矩阵。对于T个采样快拍，阵列接收端数据表达式如下：

式中，S∈ℂK×T表示目标信号反射系数多快拍矩阵，

表示多快拍高斯噪声矩阵，

的维度为

，而文献［11-13］中的Qt⊙Qr的维度为ℂ36MN×K。因此，在相同发射EMVS阵元和接收EMVS阵元的情况下，本文所设计的异点L型EMVS可以降低的数据维度为1-9(M1+M2)(N1+N2)/ 36MN=75%。因而本文所提算法在进行角度参数求解时具有较低的计算复杂度。同时，从公式（6）可以看出，从阵列接收数据Y构建出一个三阶张量

因此，当前主流的PARAF AC算法和HOSVD算法都可以对以上信号模型进行求解，本文仅给出旋转不变算法对双基地EMVS-MIMO雷达中多维参数的求解过程。

2 基于旋转不变技术的多维参数估计

2.1 2D-DOD和2D-DOA估计

对于阵列接收数据Y，其多快拍协方差矩阵可以表示为

为获取2D-DOD和2D-DOA的估计，首先对R奇异值分解

式中，

表示信号子空间，

表示噪声子空间，Σ∈ℂK×K表示协方差矩阵的奇异值。众所周知，由于Es和Qt⊙Qr扩展了相同的信号子空间，存在一个非奇异矩阵P∈ℂK×K满足式（9）的关系：

根据方向余弦utk，vtk，urk，vrk，k=1, 2, …, K的定义，本文首先构建针对于utk，vtk，urk，vrk的旋转不变关系。如图2所示，定义如下的选择矩阵：

因此，关于utk，vtk，urk，vrk的旋转不变关系如式（14）~（16）。

其中，

根据公式（9）中Es和(Qt⊙Qr)之间的关系，以上关于utk，vtk，urk，vrk的旋转不变关系可以进一步的表示为

因此，进一步可以得到Φtv1，Φtu1，Φrv1和Φru1的估计为

从式（22）~（25）可以看出，(Jty1Es)†Jty2Es，(Jtx1Es)†Jtx2Es，(Jry1Es)†Jry2Es和(Jry1Es)†Jry2Es具有相同的特征矩阵P。因此，为实现发射二维方向余弦和接收二维方向余弦的自动参数配对，本文首先对(Jty1Es)†Jty2Es进行特征值分解来获得特征矩阵P。然后分别利用P(Jtx1Es)†Jtx2EsP-1，P(Jry1Es)†Jry2EsP-1和P(Jrx1Es)†Jrx2EsP-1来实现对Φtu1，Φrv1和Φru1的估计。通过利用估计得到的Φtv1，Φtu1，Φrv1和Φru1，相应的方向余弦utk，vtk，urk，vrk的估计可以表示为

由于异点L型阵列的阵元沿x轴方向和y轴方向稀疏排列，Dtx,Dty,Drx,Dry≫λ/2，以上得到的方向余弦utk，vtk，urk，vrk存在周期模糊的现象。

和

所有可能的取值分别为

在

和

众多的取值中，只有一个值是目标的真实二维发射方向余弦和二维接收方向余弦。为实现对方向余弦的解模糊处理，需要进一步利用EMVS的极化旋转不变特性。以β1作为参考阵元，进一步的根据公式（1），令β1=ex=cosϕcosθsinγejη-sinϕcosγ，β2=ey=sinϕcosθ·sinγejη+cosϕcosγ，β3=ez=-sinθsinγejη，β4=hx=-sinϕsinγejη-cosϕcosθcosγ，β5=hy=cosϕ·sinγejη-sinϕcosθcosγ，β6=hz=sinθcosγ。则相应的旋转不变关系为β2=β1χ2,1，β3=β1χ3,1，β4=β1χ4,1，β5=β1χ5,1，β6=β1χ6,1。EMVS的广义空间响应可定义为

根据文献［7］中矢量叉积的定义，式（28）定义的EMVS的广义空间响应仍然满足式（29）的关系：

因此，从式（29）中可以得到相应的方向余弦u和v。接下来本文的任务就是从所设计的异点L型发射阵列和接收阵列中提取EMVS的极化旋转不变关系，从而来构建相应的广义空间响应。选择矩阵可定义为

因此，针对发射EMVS空间响应和接收EMVS空间响应构建的旋转不变关系如下：

式中，

进一步利用式（9）中Es和(Qt⊙Qr)之间的关系，以上关于发射EMVS空间响应和接收EMVS空间响应的旋转不变关系可以进一步表示为

可以看出，式（36）和式（22）具有相同的特征矩阵P。因此，可以进一步利用(Jty1Es)†Jty2Es特征值分解获得的特征矩阵P，然后分别利用P(Jty3Es)†Jty4EsP-1，P(Jty3Es)†Jty5EsP-1，P(Jty3Es)†Jtx3EsP-1，P(Jty3Es)†Jtx4EsP-1，P(Jty3Es)†Jtx5EsP-1，P(Jry3Es)†Jry4EsP-1，P(Jry3Es)†Jry5EsP-1，P(Jry3Es)†Jrx3EsP-1，P(Jry3Es)†Jrx4EsP-1和P(Jry3Es)†Jrx5EsP-1来实现对

和

的估计。因此，最终估计得到的发射EMVS空间响应和接收EMVS空间响应可以表示为

根据式（29），然后对

和

分别进行矢量叉积运算可以得到相应的二维发射方向余弦和二维接收方向余弦

因此，通过以上发射EMVS和接收EMVS的广义空间响应可以得到的方向余弦

和

的粗估计。并且以上得到的二维发射方向余弦和二维接收方向余弦与式（27）得到的精估计二维发射方向余弦和二维接收方向余弦是一一对应关系。本文利用如下的精粗估计结合来实现对二维发射方向余弦和二维接收方向余弦的解模糊处理：

因此，经过以上的处理过程可以得到高精度无模糊的二维发射方向余弦和接收方向余弦。进一步地，相应的2D-DOD和2D-DOA估计可以表示为

经过以上的处理过程最终得到自动参数配对的2D-DOD和2D-DOA估计值。下面本文再进一步利用EMVS的极化旋转不变特性来实现对2DTPA和2D-RPA的角度参数估计。

2.2 2D-TPA和2D-RPA估计

由于所设计的异点L型发射EMVS和接收EMVS的特殊结构，本文对2D-TPA和2D-RPA的求解不能采用文献［11-13］中的方法。本文进一步利用构建的广义发射EMVS空间响应和广义接收EMVS空间响应来实现对2D-TPA和2D-RPA的求解。并且，由于对2D-TPA和2D-RPA的求解过程类似，本文仅给出对2D-TPA的详细推导过程。根据式（1），对于式（38）中的

可以进一步构建如下的方程：

由于2D-DOD已经得到，故关于gt(γtk,ηtk)的估计可以表示为

对于估计得到的

最终2D-TPA的估计可以表示为

最后，经过以上处理过程，本文可以同时得到发射和接收的四维参数。从以上的理论分析可以看出，估计得到的2D-DOD和2D-DOA是高精度的，而得到的2D-TPA和2D-RPA的估计精度较低。

3 相关问题分析

3.1 克拉美罗界CRB

为有效地评价本文所提算法的参数估计性能，本文给出所提算法对于发射四维参数(θtk, ϕtk, γtk, ηtk),k=1,2,…,K和接收四维参数(θrk, ϕrk, γrk, ηrk),k=1,2,…,K的克拉美罗界

式中，

=I9MN-QQ†为Q的投影矩阵，D表示联合导数矢量矩阵。

3.2 计算复杂度

本文算法的优越性在于计算复杂度较低，为便于对比，考虑文献［11］和文献［14］的计算复杂度，因为这两种算法本质上均是旋转不变算法。文献［11］计算复杂度是ο{{362M2N2T+363M3N3+12K2(N+M-2)+6K3+7(M+N)K2+12K+36MN(36MN-K)+(36MN-K)K2}，文献［14］是ο{362M2 N2T+363M3N3+K2(72(M-1)N+72(N-1)M+120MN)+49K3。本文方法主要是式（7）中的协方差矩阵运算，式（8）中的奇异值分解，式（22）~（25）中关于二维发射方向余弦和二维接收方向余弦旋转不变关系的构建以及式（36）~（37）中关于极化旋转不变关系的运算，计算复杂度是ο{92M2N2T},ο{93M3N3}, ο {(162MNK+27K2)(2MN-2N-2M)+8K3}和ο{45K(M+N)(6MN+K)+20K3}。因此，本文所提算法总的计算复杂度为ο{92M2N2T+93M3N3+(162MNK+27K2)(2MN-2N-2M)+28K3+45K (M+N)(6MN+K)}。

4 仿真实验

4.1 2D-DOD，2D-DOA，2D-TPA和2D-RPA散点图配对分析

首先验证一下本文所提算法的2D-DOD，2DDOA，2D-TPA和2D-RPA的参数配对情况。仿真实验中，将异点L型发射EMVS阵列M设置为8（M1=M2=4），Dty=Dtx=5λ，N设置为6（N1=N2=3），Dry=Drx=2.5λ。假设入射信源数为K=3，发射参数(θt, ϕt, γt, ηt)分别设置为θt=[40°,20°,30°]，ϕt=[15°,25°,35°]，γt=[10°,22°,45°]，ηt=[38°,48°,56°]。接收参数(θr, ϕr, γr, ηr)分别设置为θr=[24°,38°,16°]，ϕr=[21°,32°,55°]，γr=[42°,33°,60°]和ηr=[17°,27°,39°]。假设信噪比为10 dB，快拍数为200，散点图的蒙特卡洛仿真实验次数设置为100。

在如图3所示散点图的仿真实验中，下标coas和fine分别表示粗估计和精估计结果。从图3（a）~（d）中的散点图可以看出，基于EMVS极化旋转不变特性得到的粗估计2D-DOD和2D-DOA的参数估计性能较差。图3（e）~（h）中的散点图可以看出，基于异点L型阵列空间旋转不变特性得到的精估计2D-DOD和2D-DOA能够精确地实现目标的参数估计。同样地，由于2D-TPA和2D-RPA的估计也依赖于所构建的广义EMVS空间响应，其对应的图3（i）~（j）中的散点图估计结果较差。从图3可以看出，本文所提算法能够有效实现对2D-DOD，2D-DOA，2D-TPA和2D-RPA的参数配对，并且基于所设计的异点L型阵列结构可以获得2D-DOD和2D-DOA的精估计。

4.2 不同算法均方误差性能对比

为验证本文所设计的异点L型阵列结构的多维参数估计性能，仿真分析均方误差随信噪比和快拍数的变化。考虑文献［11］中的算法和文献［14］中的算法，其中仿真实验中标记Chintagunta和Wen分别表示文献［11］中的算法和文献［14］中的算法。对于2D-DOD，2D-DOA和2D-TPA，2DRPA的均方误差定义分别为

式中，I表示蒙特卡洛仿真次数，本文设为200。在图4中的均方误差随快拍数的仿真实验中，快拍数范围是［40∶40∶520］，信噪比固定为10 dB。同时图5给出不同算法的计算时间。在图6中的均方误差随信噪比的仿真实验中，信噪比范围是［0∶2∶20］ dB，快拍数固定为200。目标个数K，异点L型发射EMVS阵列和接收EMVS阵列与实验一相同配置。并且，文献［11］和文献［14］所采用的发射阵列个数和接收阵列个数与本文设置相同。

从图4和图6的仿真实验可以看出，与文献［11］和文献［14］比较，在设置相同阵元个数的条件下，本文方法的估计精度高于文献［11］中的算法，略低于文献［14］算法。其原因在于，虽然本文算法和文献［14］中的算法设置了相同阵元个数，但文献［14］中的每个阵元均有三正交电偶极子和三正交磁偶极子，对于M个发射EMVS，文献［14］中总的偶极子个数为6M，而本文所设计的异点L型偶极子的个数为3M，因此，相比于文献［14］，本文算法在降低计算复杂度的同时参数估计性能稍有下降。进一步由图4和图6可知，本文所提算法2D-DOD和2D-DOA的精估计明显好于相应的粗估计的结果。同时，从图5可知，相比于文献［11］中算法和文献［14］中算法的计算复杂度，本文方法的计算复杂度更低。

4.3 多维参数估计性能随阵元间距的变化

在上面两个仿真实验中发射EMVS和接收EMVS的阵元间距分别设置为Dty=Dtx=5λ和Dry=Drx=2.5λ。阵元间距的大小也会影响异点L型阵列结构对2D-DOD，2D-DOA，2D-TPA和2DRPA的参数估计性能，尤其是对2D-DOD和2DDOA估计性能的影响。本文考虑不同的阵元间距下，本文所设计的异点L型阵列结构的多维参数估计性能，为选择一个合适的阵元间距提供相应的参考。仿真实验中令Dty=Dtx=Dry=Drx=Δ，Δ为半波长的整数倍，Δ=2∶2∶100 。从图7的仿真实验结果可以看出，随着阵元间距的提升，本文所提算法的精估计性能先变好后变差。这说明在进行阵元间距的选择时并不是越大越好，超过一定的门限值之后估计性能会急剧下降。其原因在于：从式（27）中可以看出，随着阵元间距的加大，精估计的模糊值增多，模糊间隔变小。但是从式（40）和式（41）中求解得到的粗估计值基本不变，导致式（42）基于粗估计值的解模糊出错概率增加，估计精度下降，最终得到的解模糊值与实际粗估计值一致。因此，对于阵元间距的增加，精估计的角度参数存在一个模糊门限。故在进行异点L型阵列设计时需要选择一个合理的阵元间距。从图7的仿真实验结果进一步可以看出，粗估计的2D-DOD，2D-DOA，2D-TPA和2D-RPA的参数估计结果随阵元间距的增加变化不大。其原因在于粗估计的2D-DOD，2D-DOA，2D-TPA和2DRPA仅仅依赖于EMVS广义空间响应的极化旋转不变特性。

5 结束语

通过把集中式EMVS划分为三正交电偶极子与三正交磁偶极子，本文利用异点EMVS结构设计了一种新颖的L型阵列来提升双基地EMVS-MIMO雷达中2D-DOD和2D-DOA的参数估计性能。所提出的异点L型EMVS结构通过阵元间距的稀疏排列能够实现2D-DOD和2D-DOA的精确估计。并且，提取出的EMVS广义空间响应可以对2D-TPA和2DRPA进行有效估计。相比于集中式EMVS结构，所提出的异点EMVS结构能够显著降低接收数据的维度。因此，本文利用所设计的异点L型阵列结构在实现双基地EMVS-MIMO雷达中2D-DOD和2DDOA高精度估计的同时具有较低的计算复杂度。

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