0 引 言
海面慢小目标的检测在海上搜救、海洋安全检测、军事防御等领域具有重要的应用价值。高海情下慢小目标的微弱回波被海杂波淹没，且速度与海浪接近，这使得其在多普勒域和快时间域上与海杂波混叠，传统的目标检测方法如动目标检测、恒虚警检测等难以将目标信号和海杂波信号分离［1］。
目前，海面慢小目标检测方法可分为3类［2］：基于统计特征的检测方法［3］、基于分形特征的检测方法［4］和时频分析方法［5］。基于统计特征的检测方法将海杂波与目标的特征提取出来做联合判别，但这种方法的判别阈值依赖于数据和经验，在未知海况下的虚警率或漏警率变高；基于分形特征的方法利用一定尺度下海面粗糙度的分形特征进行目标检测，如分形维数和多重分形相关，然而分形特征的提取计算复杂度高且对噪声敏感；常规时频分析方法很难将目标与海杂波融合的非平稳信号分解，需要研究新的时频分析方法，揭示信号的时频信息来提高检测概率。
Wang等人提出了一种基于经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）的海杂波抑制方法［6］，得到了很好的效果。但EMD方法存在端点效应，且缺乏对信号多尺度特性的全面分析和处理能力,在重构时会使信号失真。变分模态分解（Variational Mode Decomposition，VMD）是由Dragomiretskiy等人在2014年提出的一种自适应信号分解方法［7］，通过寻找每个模态的中心频率并利用自适应带宽进行信号分解，避免了EMD的模态混叠问题，同时相较于短时傅里叶变换等常规时频分析方法，其具有更好的时频局部化能力。Chen等人提出一种基于奇异值分解（Sigular Value Decomposition，SVD）和分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，FRFT）的滤波方法，证明线性调频信号在FRFT域内可以表现为更加集中的形式［8］。海杂波的距离单元会在FRFT域中有能量积累，降低了目标检测的性能。综上，本文提出了一种基于多种模态分解重构的方法，将VMD和FRFT结合，有效重构海杂波背景下的慢小目标信号。
1 VMD分解与重构
VMD通过解决一个变分优化问题将信号分解为若干个本征模态函数（IMFS）［9］，每个模态在频域上具有最小带宽，其数学表达式为
式中，Ak(t)为模态函数uk(t)的包络幅值，ωk为模态函数的中心频率。构建变分优化函数，使每个模态函数带宽最小。
式中，K为模态函数的个数，∂t为时间微分算子，δ(t)为冲激函数，*表示卷积。为了引入约束条件
，构建拉格朗日函数：
使用交替方向乘子法对拉格朗日函数进行优化和迭代，得到信号的本征模态函数。
经过VMD处理后，由于目标的带宽相对于海杂波较窄，其能量集中在一个或少数几个IMFS上，而海杂波的能量分散在多个IMFS上。因此，本文使用能量熵衡量能量分散信息，每个距离单元的能量熵计算公式为［10］
式中，Ei为第i个IMFS的归一化能量。能量熵越大，说明该距离单元的能量分布越分散；能量熵越小，说明该距离单元的能量更集中在特定频率,为了直观对比信号能量的分散性和能量熵的关系,仿真一个能量集中在特定频率的单频信号和能量分散的白噪声信号。如图1所示，计算两个信号的能量熵值分别为0.939 1和8.454 4。所以，本文选择能量熵的平均值作为阈值，在能量分布的平衡点上分割海杂波与目标信号，使用能量熵准则对逐个距离单元数据进行取舍和重构，可以抑制海杂波分量，作为FRFT的输入。
图1 单频信号与白噪声信号的功率谱和能量熵计算结果
2 FRFT分解与重构
FRFT是傅里叶变换的广义形式，可解释为信号的表示轴在时频平面上的旋转，定义式为［11］
式中，Ka(t,u)为核函数，
式中，Aa=
，n为整数，a为变换角度。海杂波背景下的线性调频信号可以表示为
式中，A(t)为幅度函数，f0和μ为LFM信号的中心频率和调频率，w(t)为海杂波信号，n(t)为加性高斯白噪声。则x(t)的FRFT为
当变换角度与LFM信号调频率相匹配，即a=
时，LFM信号在FRFT域中为冲激函数，而杂波和噪声不会有明显的能量聚集。所以，在最优角度时，目标信号的FRFT幅度总是大于杂波和噪声的幅度。
本文采取穷举搜索法对最优角度进行搜索，在搜索到最优角度后，Wang等人通过IFFT将频域结果转换到FRFT的时域，再用SVD单个时间序列进行奇异值分解和重构。本文对多个相参时间序列进行联合奇异值分解，可以捕捉时间序列之间的相干性，更好地加强信号的主成分，过滤掉杂波和噪声。
将IFFT处理后的L个时间序列记为{X1(t), X2(t), X3(t), …, XL(t)}，每个时间序列的长度为N。对于每个时间序列Xl(t)，选择构造轨迹矩阵Yl如下：
式中，c表示列数，其取值设置为N/2。将所有时间序列堆叠在一起，构造联合轨迹矩阵为
对联合轨迹矩阵进行奇异值分解，得到
式中：U为左奇异向量矩阵，包含不同时间序列的联合模式；Σ为对角矩阵，包含奇异值，表示不同模式的权重；V为右奇异值矩阵，代表模式在时间上的变化。
被VMD分解重构后的信号中海杂波的分量被较大程度的抑制，Σ中的最大奇异值已经能代表信号中的目标成分，只保留最大奇异值可以有效地简化数据结构。因此将Σ中除了最大值之外的奇异值全部置0，得到新的时间序列Ynew。
将Ynew通过FFT变换回FRFT域，再用角度a的相反数做逆FRFT得到最终杂波抑制后的结果，如式（12）所示：
3 多种模态分解重构方法
综合第1和第2节的分解重构方法，本文提出了一种融合VMD与FRFT的多种模态分解重构方法，具体流程如图2所示。
图2 多种模态分解重构方法流程图
1） 使用VMD方法将积累后的信号分解为多个IMFS，逐个距离单元求解IMFS的信息熵。
2） 对所有信息熵求平均值作为重构阈值，距离单元的信息熵超过阈值的保留原信号分量，小于阈值的距离单元设置为0。
3） 将重构后的信号进行FRFT分解，在FRFT域内搜索得到最佳角度。
4） 将最优角度的FRFT进行IFFT变换到FRFT时域。
5） 对FRFT内的脉组构造轨迹矩阵，做联合奇异值分解。
6） 将奇异值分解后的对角特征矩阵除了最大值全部置0，得到新的时间序列。
7） 将时间序列做FFT变换到FRFT域。
8） 取最优角度的相反数做逆FRFT变换，得到最后结果。
4 真实数据验证
为了验证本文提出的多重模态分解的可行性和有效性，应用了由海军航空大学刘宁波教授团队提出并组织的“雷达对海探测数据共享计划”中提供的X波段数据［12-14］。该数据的类型和参数如表1所示。
表1 海杂波数据类型和参数
数据类型海杂波+目标海况等级3~4级脉宽3 μs采样率60 MHz脉冲重复频率1 699 Hz
该数据的原始距离-多普勒图如图3所示，在红圈处有一海面浮动目标，与海杂波的距离和多普勒速度重叠，难以分辨。
图3 海杂波数据原始距离-多普勒图
根据第4节的方法，对该数据进行多种模态分解重构处理。取目标前后512个距离单元进行分析，其原始波形如图4所示。设置VMD的模态数为5，最大迭代次数为500，收敛值为0.000 005，带宽约束默认值为1 000，拉格朗日乘子更新速度为0.01。进行VMD处理后各个IMFS的分布如图5所示，其中，目标的IMFS标为红色，可以看出，目标距离单元IMFS的能量分布较为集中。对IMFS的每个距离单元计算能量熵，计算得到信息熵平均值为2.570 5，留下大于信息熵平均值的距离单元信息，其他距离单元置为0，得到图6所示的波形，大部分杂波和噪声已经得到抑制。将VMD后的输出作为FRFT的输入，在奇异值分解后，得到其对角矩阵的奇异值前3个为［20 400，933，88.11］，可以看到，在VMD和FRFT后，奇异值呈指数级下降，保留最大的奇异值进行重构，得到波形如图7所示，可以看到一些VMD未能去掉的信号分量也被抑制。
图4 原始海杂波+目标波形
图5 VMD生成的IMFS幅度图
图6 VMD重构后的波形
图7 VMD+FRFT重构后的波形
FRFT后的三维频谱图如图8所示。由图8可知，频谱最大值分布在接近角度0的位置，符合目标在海面漂浮的特性。多种模态分解重构处理后的距离-多普勒图如图9所示，目标已完全从海杂波中分离。
图8 FRFT三维频谱图
图9 多种模态分解重构后的距离-多普勒图
对该海杂波数据分别做VMD、EMD、EMD+FRFT、VMD+FRFT处理，得到处理后的目标检测性能曲线如图10所示。由图10可以看出，本文的VMD+FRFT的检测性能优于其他两种模态分解方法。
图10 4种方法的目标检测性能曲线
5 结束语
本文提出了一种基于多种模态分解重构的创新方法，专注于在海杂波背景下检测慢速小目标的难题。通过将变分模态分解、分数阶傅里叶变换、能量熵和奇异值分解等多种技术手段有机结合，该方法能够有效分离海杂波与慢小目标信号。实验结果表明，所提方法在时频域上能够显著增强目标信号的特征提取能力，成功抑制了海杂波的干扰，提升了雷达在复杂环境下的检测精度。相较于传统的EMD和EMD+FRFT方法，本文所提出的方法表现出更优越的检测性能，尤其在信号分离效果和计算效率方面具备明显优势。该方法为海杂波背景下的慢小目标检测提供了新的技术途径，具有广泛的应用前景和研究价值。
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