一种基于FRFT的宽带LFM信号角度距离估计算法

线性调频信号（Linear Frequency Modulation,LFM）是一种具有大时宽-带宽积和良好的频带利用率的宽带信号，广泛应用于雷达目标方位估计和水声通信等领域。LFM信号的参数估计一般采用时频分析工具和阵列信号处理技术相结合的方式，将信号各参数从空域和时频域转化到变换域，将LFM信号的时变导向矢量转化为变换域中的常量。

分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform, FRFT）是一种新型的时频分析工具，对线性调频信号具有良好的时频聚集特性，使得LFM信号在变换域内呈现窄带性质。FRFT是一种一维线性变换，它在处理多分量LFM信号时不会出现交叉项，复杂度更低，在实际工程应用中，可以借助快速傅里叶变换来实现FRFT，因此FRFT已成为分析LFM信号的重要工具之一。基于FRFT进行方位参数估计的方法一般分为子空间类算法和波束形成类算法。子空间类算法利用了信号子空间与噪声子空间的正交关系进行估计，分辨率较高但计算量较大。文献［1］在FRFT的基础上将窄带多重信号子分类（Multiple Signal Classification,MUSIC）算法拓展到宽带信号波达方向（Direction of Arrival, DOA）估计中，对LFM信号的到达角进行了高分辨率估计。但在回波信号时宽与观测时间不重合的情况下，LFM信号的中心频率会发生偏移，影响估计精度。文献［2］在分数阶域多重信号子分类（FRFT Multiple Signal Classification, FMUSIC）算法的基础上提出了一种新的修正LFM信号中心频率的方法，减少了估计误差。进一步地，为解决在低信噪比和低快拍数情况下估计精度不足的问题，文献［3］提出了一种基于高分辨分数阶傅里叶变换（Zoom Fractional Fourier Transform, Zoom-FRFT）的MUSIC算法，该算法在不增加样本数和采样频率的前提下，提高了低信噪比情况下的峰值估计精度。波束形成类算法是在期望信号无失真的约束条件下选择合适的滤波器系数使得阵列输出的平均功率最小，同时波束主瓣指向期望方向。文献［4］提出了一种基于FRFT的改进Capon算法，在低快拍数的情况下生成更窄的主瓣，达到更高的主旁瓣比。针对相干LFM信号会造成阵列孔径损失的问题，文献［5］提出了一种基于FRFT与波束形成的新型去卷积波束形成法，通过反卷积来恢复目标空间分布，在提高估计精度的同时避免增加阵列孔径。

随着应用场景的多样化，仅方位参数估计很难满足实际需求，多维参数估计成为了研究热点。传统的目标多维参数估计方法主要分为分步估计和联合估计两类算法。分步估计类算法是先通过离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）进行距离信息估计，再对同一距离点对应的不同阵元数据进行DOA估计，最后对距离和角度进行配对。由于DFT存在栅栏效应及频谱泄露问题，使得其参数估计精度不高。文献［6］提出一种与多普勒实时动态检测结合的配对方式，但对工作硬件和检测环境要求较高，使用场景受限。文献［7］实现了在低旁瓣和空间聚焦基础上的波束优化，进一步提高了参数联合估计的鲁棒性。联合估计类算法是将子空间类算法拓展到多维度上，利用子空间的正交性进行谱峰搜索来同时估计多个参数。文献［8］对调频连续波（Frequency Modulated Continuous Wave, FMCW）雷达各阵元的接收数据在观测时间内进行采样，构建距离-角度协方差矩阵，利用2D-MUSIC算法进行多维参数联合估计，但在高精度要求下复杂度过高。文献［9］在2DMUSIC的基础上引入了分级搜索的思想，有效降低了计算复杂度，但粗估计的网格划分范围有待商榷。文献［10］提出了一种改进多维参数超分辨算法，但随着估计参数的增加，复杂度会大幅提高，影响在工程应用中的时效性。针对这个问题，文献［11］采用拉格朗日乘子方法将2D-MUSIC中的二次优化问题简化为波束空间后的一维优化，进而减少矩阵运算的计算量。文献［12］提出一种降维2D-MUSIC联合估计算法，将多维全局搜索简化为一维局部搜索，降低谱峰搜索的计算量。文献［13］通过一维的DFT估计目标的范围，然后利用旋转不变子空间算法（Estimation of Signal Parameter via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT）直接计算角度来取代MUSIC的谱峰搜索过程。文献［14］提出一种基于信号分簇的ESPRIT算法，将接收数据分成多个信号簇，分别用ESPRIT算法来估计参数。虽然上述算法降低了复杂度，但也降低了估计精度，因此在角度距离估计算法的复杂度、估计精度等方面还有待进一步研究。

本文将角度距离估计问题分成两步，第一步先构建基于FRFT的宽带LFM信号距离角度估计模型，利用LFM信号在FRF域的能量聚集特性推导出分数阶域峰值位置与阵元位置的线性关系，对峰值位置进行斜率拟合求得角度估计值，第二步将角度估计值代入，利用发射信号与各阵元接收信号的时延关系求得距离估计值。最后，将该算法在不同信噪比和快拍数等条件下与FMUSIC算法和FESPRIT算法进行比较，以验证所提算法的性能。

1 信号模型分析

1.1 分数阶傅里叶变换定义及性质

设LFM信号表达式为

式中，fc为信号初始频率，k为调频率。由FRFT定义，LFM信号的p阶FRFT形式为

式中，α=pπ/2表示（t, f）平面的旋转角度，u为t轴旋转后得到的变换域轴，T为观测时间。由式（2）可知当积分部分为1时，信号的FRFT为冲激函数，此时LFM有最佳能量聚焦特性，信号参数估计为

u0表示信号在变换域的峰值点对应于u轴的位置，此时LFM信号在变换域的峰值为

工程应用上的离散型分数阶傅里叶变换，一般采用Ozaktas提出的分解型算法，将复杂的积分运算分解成若干简单步骤，计算复杂度与快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）相当［15］。计算之前先对信号进行离散归一化操作。选取观测时间T作为时宽，采样频率fs作为带宽，采样点数为N，定义尺度因子S和归一化宽度Δx为［15］

定义新的尺度化坐标为x=t/S=fs·S，可以得到无量纲化坐标x，使得两个区间长度相等，信号时频分布如图1所示。进一步地，根据式（3）可以得到离散归一化后的LFM参数估计表达式

式中：k′，α0分别为离散归一化后的调频率和最佳旋转角度；m0为信号进行离散分数阶傅里叶变换后峰值对应的变换轴位置。

1.2 阵列模型分析

本文选择L型阵列来进行估计。X轴与Y轴方向上各有M个阵元，阵元间距为d，阵元总数为2M-1［16］。设目标在距离阵列r处，发射信号sT(t)检测到目标后以角度(θ, φ)入射到L型阵列，发射信号表达式如式（1），参考阵元接收数据为

式中，τr=2r/c表示信号传输到参考阵元的时延，c表示光速，sR(t)表示回波信号。X轴第i个阵元和Y轴第j个阵元的接收信号分别为

τxi、τyj分别为X轴上第i个阵元与Y轴上第j个阵元相对于参考阵元的时延，具体形式为

该阵列沿着X轴和Y轴的接收数据矢量为

Ax, Ay分别为时域上X轴和Y轴的角度导向矢量：

设α=arccot(-k)为最佳旋转角度，由2.1节LFM信号的FRFT结果可得其他阵元接收数据做FRFT后的数据峰值与参考阵元的数据峰值关系为

S1(u1)表示回波信号在参考阵元的变换域峰值，u1为参考阵元的变换域峰值对应位置，对应式（6）中的u0，Sxi(uxi)、Syj(uyj)分别表示X轴与Y轴上其他阵元的变换域峰值，其中FRF域的导向矢量为

X轴各阵元峰值位置以及和参考阵元峰值位置关系为

uT表示发射信号对应的峰值位置。由式（6）和式（14）可得离散归一化后的各阵元峰值位置为

进一步得到X，Y轴上各阵元峰值位置关系式：

由此，在FRF域上阵列模型可以表示为

X为各阵元接收信号组成的数据矢量；A为变换域上的导向矢量，只与入射角度有关，与时间无关；S为入射信号在参考阵元的FRFT峰值，只与信号本身参数有关。

2 基于斜率拟合LFM信号角度距离估计算法

2.1 LFM信号在分数阶域峰值与来波角度关系

将回波信号sR(t)视作阵列入射信号，由式（3）可知各阵元的接收数据进行FRFT变换的最佳阶次不变，初始频率发生变化，因此变换结果的峰值位置会发生变化。由式（16）可得峰值位置与波达角度的关系：

由式（17）和三角函数性质可得波达角度的表达式为

由于峰值位置仅与阵元位置有关，且θ是定值，所以FRFT变换的峰值位置与阵元位置满足线性关系，可将式（19）进一步表示为

不同阵元接收数据进行FRFT变换后的峰值位置与阵元位置呈线性关系，求解斜率kx, ky可以得到方位角与俯仰角。

2.2 距离估计

由式（15）可得各阵元接收数据对应的峰值位置与发射信号对应的峰值位置关系：

将通过斜率拟合求得的角度估计值代入式（21）可得各阵元数据对应求解的距离估计值为

对各阵元数据对应的估计值求平均得到最终的距离估计值为

2.3 异常峰值位置识别及修正

由于方位角θ∈[-π/2,π/2]，俯仰角φ∈[0,π/2]，根据式（16），可以确定X轴各阵元对应的分数阶变换域峰值位置的范围为

同理，Y轴阵元对应的峰值位置范围为

本文采用线性插值的方法对离群峰的位置进行校正。首先根据每个阵元对应峰值位置的阈值来确定离群点的存在，接着利用相邻的非离群点进行线性插值

式中，

表示修正后的峰值位置。

2.4 基于批量梯度下降法的斜率拟合

批量梯度下降法是通过最小化损失函数，通过迭代来更新模型函数的参数，最终找到数据的最佳匹配函数。针对本文中的线性模型，设函数表达式为h(x)=θ0+θ1x，(xj, yj)为给定数据集中的样本，分别代表阵元位置和峰值位置。假定样本数为M，定义损失函数为

j表示第j组样本，计算损失函数的梯度，合理设置步长α，得到梯度下降距离，更新模型参数：

当梯度下降距离小于设定阈值ε时停止更新，完成线性回归。

本文中数据集由阵元序列和阵元接收数据的变换域峰值对应位置构成，以X轴数据为例，将模型函数表示为矩阵形式：

损失函数及其偏导数为

最终得到矩阵形式的系数更新表达式为

式中，θ=[θ0,θ1]T，参数θ1即为所求斜率。

3 仿真分析

仿真中采用FMUSIC算法与FESPRIT算法作为对比算法，在经典的MUSIC算法和ESPRIT算法基础上引入FRFT过程，先对接收数据做FRFT得到式（17）中的FRF域信号模型后再进行处理，依赖信号的FRF域峰值进行协方差矩阵的构建。FMUSIC算法主要分为3个步骤：构建协方差矩阵、特征值分解和谱峰搜索，利用信号子空间与噪声子空间的正交性来估计参数。FESPRIT算法是将阵列划分为两个子阵，利用两个子阵的接收数据构建协方差矩阵并进行特征值分解得到两个信号子空间，根据子阵间的相位关系得到旋转不变矩阵，最后对其进行特征值分解，由特征值求得估计值。

设定方位角θ∈[-π/2,π/2]，俯仰角φ∈[0,π/2]，距离r∈[0,100] m，仿真设置各轴阵元数为50，快拍数设置为1 000，入射方位角和俯仰角分别设置为20.3°和35.7°，距离设置为23.4 m。FMUSIC算法中方位角、俯仰角谱峰搜索间隔为0.5°，距离搜索间隔为1 m。模拟雷达在Ku波段工作，LFM信号的初始频率为10 MHz，时间宽度为4 µs，带宽为20 MHz，并进行了100次蒙特卡罗测试［17］。仿真中以SLOPE指代本文算法。

3.1 斜率拟合仿真分析

当信噪比发生变化时，某些峰值位置会出现较大的偏移，利用线性插值方法对离群值进行校正，使估计误差最小化。图1显示了SNR为0 dB时各阵元接收数据在FRF域的修正峰值位置分布，横轴为阵元位置，纵轴为峰值位置，红色线条表示拟合直线。可以看出，各阵元接收数据在FRF域的峰值位置与阵元位置满足线性关系。

3.2 信噪比对算法性能影响分析

参数估计的精度主要通过均方根误差（RMSE）来衡量［18］。信噪比变化时3种算法的估计性能趋势如图2所示。仿真结果表明，3种算法的RMSE均随着信噪比的增加而逐渐减小，与其他两种算法相比，所提算法通过线性插值修正了异常峰值位置，增强了拟合斜率的稳定性，对噪声的抗性更强，因此估计精度更高。在距离估计过程中需要代入角度估计值，而角度估计值本身具有一定误差，所以会造成误差累积，进一步加大误差。距离估计值的误差既包含了接收信号峰值由于噪声等干扰引起的误差，又包含角度估计值的误差，因此距离的估计精度最低。

3.3 快拍数对算法性能影响分析

下面的仿真研究了快拍数对角度距离估计精度的影响。将信噪比设置为10 dB，快拍数范围设置从100到1 000。从图3可以看出，随着快拍数的增加，3种算法的参数估计精度逐渐提高，且本文算法的估计性能优于其他两种算法。当快拍数大于500时，3种算法估计的各参数RMSE均收敛到稳定水平。

根据1.2节，算法先对接收数据做FRFT，估计出信号在FRF域的峰值及峰值位置，通过本文的仿真分析，在信噪比一定的情况下，随着快拍数增加，峰值估计值会逐渐接近理论峰值；当快拍数增加到500以后，峰值估计值变化很小，因此估计误差会趋于稳定。

3.4 复杂度分析

本文算法的复杂度主要来自三部分：确定峰值位置、斜率拟合求解角度和距离估计过程。仿真以乘法次数作为算法复杂度的评价标准，表1中列出了3种算法的计算复杂度［19］。

其中M=50表示各轴阵元数，N=100为时域采样点数，Dx=483 455，Dy=483 481分别为X轴和Y轴数据采用批量梯度下降法进行斜率拟合时达到收敛的迭代次数，nθ=361,nφ=181,nr=101为FMUSIC算法谱峰搜索过程中各参数的网格数。

表1结果显示所提算法计算复杂度显著低于对比算法，结合3.2节、3.3节可以证明所提算法在保证精度的条件下降低了计算复杂度，提高了角度距离估计的效率。

4 结束语

传统的子空间分解类算法依赖FRF域峰值构建协方差矩阵，受噪声影响较大，同时矩阵计算量较大，影响实际应用的时效性，在硬件资源限制下存在更高的网格误差。本文基于FRFT提出了一种针对宽带LFM信号的角度距离估计算法，利用FRF域中各阵元对应的修正峰值位置进行斜率拟合求得角度估计值，接着在角度估计的基础上利用发射信号和接收信号的时延关系求得距离估计值，消除了对峰值大小的依赖，经过异常峰值位置修正后对噪声抗性较强，在低信噪比下有更高的估计精度。通过RMSE和复杂度分析，与FMUSIC和FESPRIT算法进行了比较，结果证明了所提算法的优越性。本文仅考虑了单个目标的情况，后续的研究方向是在多目标的情况下，考虑实现相干信号的参数估计。

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