0 引 言
为了实现宽空域、宽频段的覆盖，提高系统的捕获和跟踪能力，基于数字阵列的宽带波束形成技术在雷达、测控通信、信息对抗等领域具有广阔的应用前景［1-2］。随着高速采集和数字信号处理器技术的发展，大规模宽带数字阵列多波束形成的工程应用已经成为可能。宽带数字多波束的一个关键技术就是分数时延滤波器的设计［3-4］。
目前，分数时延滤波器的实现结构主要有两种：FIR型结构和Farrow结构。FIR型结构的分数时延滤波器［5］需事先存储各个时延值对应的FIR滤波器系数，以实际使用时延值为地址，通过查询方式加载不同FIR滤波器系数。Farrow结构的分数时延滤波器由固定系数的FIR滤波器组和可变分数时延多项式组成［6］，无需事先存储各个时延对应的滤波器系数，仅需改变输入分数时延值就可完成时延补偿。与FIR型结构相比，当需在宽带数字阵列的通道级进行时延补偿，并同时形成多波束时，随着波束数量的增加，Farrow结构的分数时延滤波器具有更低的实现复杂度［7］。
针对Farrow结构的分数时延滤波器，国内外有许多文献研究其设计方法，如文献［8］利用截断拉格朗日插值设计分数时延滤波器，但该方法易在高频处出现吉布斯现象，影响滤波器的频响性能。文献［9］提出了一种基于Hermite插值设计双层Farrow结构分数时延滤波器的方法，该方法具有较高时延精度，但增加了实现的复杂度。文献［10］将时域插值与泰勒级数展宽相结合，所设计的滤波器系数具有相关性，可减少近一半滤波器系数，降低了Farrow结构实现的复杂度。文献［11］引入分数时延误差约束，将滤波器设计建模为一个线性规划问题，具有较高的时延精度。前述文献没有利用Farrow结构中各组FIR滤波器的线性相位特性，实现复杂度相对较高。
为降低Farrow结构的实现复杂度，文献［12］给出了一种基于加权最小二乘的对称Farrow结构优化设计方法，该方法对滤波器的幅频响应逼近精度高，对群时延逼近精度相对较差，且无法控制幅频和群时延误差的逼近精度。文献［13］对输入分数时延值进行修正，推导了一种各组FIR滤波器具有线性相位特性，改进的Farrow结构分数时延滤波器，并通过约束最大最小化优化算法求解非凸优化问题，获得各组FIR滤波器的系数。这种非凸优化问题的求解无法获得全局最优解，优化算法对初始值的选取比较敏感，易陷于局部最优解。
在实际应用中，常需根据系统要求的幅频响应和群时延波动指标，设计满足指标要求、实现复杂度尽可能低的最佳Farrow结构分数时延滤波器。对于降低Farrow结构实现复杂度，一方面是选择对称Farrow结构分数时延滤波器，直接利用其FIR滤波器的线性相位特性，降低实现复杂度［12-13］。另一方面是对称Farrow结构分数时延滤波器的设计方法进一步优化，通过约束幅频和相频响应的逼近精度，使得所设计分数时延滤波器在满足指标要求的同时，占用尽可能少的实现资源。
为了避免优化算法对初始值选取敏感，陷入局部最优解，通过约束各时延处的频率响应逼近精度，尽可能降低Farrow结构实现复杂度，本文提出了一种基于二阶锥规划的对称Farrow结构分数时延滤波器设计方法。这种方法在加权最小二乘算法基础上，利用FIR滤波器的线性相位特性构建了时延域-频域的二维幅度响应和相位响应误差约束，并将误差约束转化为线性不等式约束，可将对称Farrow结构滤波器设计转化为一个目标函数为凸函数、约束集为凸集的二阶锥规划问题。该方法能够控制分数时延滤波器的频率响应逼近精度，在尽可能降低实现复杂度的同时，获得满足误差约束的全局最优滤波器系数，避免陷入优化算法的局部最优解。仿真实验通过对比4种不同设计方法与所提方法的性能，验证了所提算法的正确性。
1 对称Farrow结构分数时延滤波器
设Farrow结构分数时延滤波器中FIR滤波器的长度为N，分数时延值为μ（0≤μ＜1），则传统Farrow结构分数时延滤波器的冲激响应可表示为［13］
式中，n=0,…,N-1，L为多项式的阶数，hm(n)为Farrow结构分数时延滤波器的第n个系数对应的L阶多项式的系数,m=0,1,…, L。将上述传统Farrow结构分数时延滤波器的L阶多项式表示改写为［13］
式中，n=0,…, N-1，gm(n)为Farrow结构分数时延滤波器的第n个系数对应的L阶多项式的系数，m=0,1,…, L，它满足［13］
即对于任意固定的m∈[0,L]，当n=0,…,N-1时，gm(n)是一个具有线性相位特性的FIR滤波器。这种gm(n)具有线性相位特性的Farrow结构分数时延滤波器，称为对称Farrow结构分数时延滤波器。与文献［8-11］相比，对称Farrow结构分数时延滤波器的独立系数个数为(L+1)N/ 2，具有最少的独立系数个数，更低的实现结构复杂度。
对称Farrow结构分数时延滤波器h(n, μ)的频率响应可以表示为
式中，f为归一化数字频率。不失一般性，取N为偶数，对于m∈[0,L]为偶数时，有
对于m∈[0,L]为奇数时，有
定义对称Farrow结构分数时延滤波器的(L+1)N/ 2个独立系数组成的向量g为
式中，gm=
，m=0,1,…,L，上标T代表转置运算。
对于m∈[0, L]为偶数时，令
则定义频率向量ae(f)为
对于m∈[0,L]为奇数时，令
则定义频率向量ao(f)为
根据前述向量的定义，当L为奇数时，定义时延-频率向量a(f, μ)为
当L为偶数时，定义时延-频率向量a(f, μ)为
因此，对称Farrow结构分数时延滤波器的频率响应可重新表示为
2 对称Farrow结构的SOCP优化设计
理想分数时延滤波器的频率响应为
式中，f∈[-0.5,0.5]为归一化数字频率，μF=μI+μ为时延值，μI为整数时延值，μ∈[0,1)为分数时延值。若用滤波器长度为N，多项式阶数为L的对称Farrow结构分数时延滤波器对理想分数时延滤波器进行逼近，则频率响应的逼近误差为
式中，‖·‖2代表L2范数，H(f, μ)为对称Farrow结构分数时延滤波器的频率响应。为控制分数时延滤波器通带和阻带频率响应与理想频率响应的逼近程度，在式（16）中引入衡量逼近误差权重的加权系数w(f, μ)(≥0),可得
对于任意归一化数字频率f和时延值μ，定义幅频响应逼近误差为
相频响应逼近误差为
式中，ϕ(f, μ)为对称Farrow结构分数时延滤波器的频率响应H(f, μ)的相频响应，ϕd(f, μ)为理想分数时延滤波器的频率响应Hd(f, μ)的相频响应。因此，对称Farrow结构分数时延滤波器的约束优化问题可表示为
式中，δ和ε分别为幅频和相频响应误差约束因子，均为正实数。
上述约束优化问题中，因幅频和相频响应的逼近误差约束是一个非凸集，故该优化问题是一个非线性、非凸的约束优化问题。直接对这一优化问题进行求解易受初值影响，不易获得全局最优解。下面将文献［14］和［15］中的一维频域逼近约束处理方法推广到二维时延域-频域，将不同时延和频率值下的幅频和相频响应的逼近约束进行线性化处理，使前述优化问题转化为一个二阶锥规划问题，可求出全局最优解。
幅频响应逼近误差|EM(f, μ)|≤δ可用如下线性约束代替：
式中，Re{·}表示取实部。δu和δl为正实数，可通过如下公式计算：
此时，线性化幅频响应逼近约束可表示为
令
则线性化幅频响应逼近约束可重新表示为
相频响应逼近误差|Eϕ(f, μ)|≤ε可重写为
因
式中，Re{·}表示取实部，Im{·}表示取虚部，故对于约束ϕ(f, μ)≤ϕd(f, μ)+ε，当
时，有
当
时，有
当
时，有
式中，sign{·}为符号函数。
对于约束ϕ(f, μ)≥ϕd(f, μ)-ε，当|ϕd(f, μ)-ε| ＜π/2时，有
当
时，有
当
时，有
因此，相频响应逼近约束可重新表示为
其中，UP可表示为
根据前述讨论，对称Farrow结构分数时延滤波器的优化问题可转化为
上述优化问题为一个典型的二阶锥规划（SOCP）问题［16］，给定采样频率、滤波器带宽、滤波器长度、加权系数和多项式阶数，可很容易获得对称Farrow结构分数时延滤波器的全局最优滤波器系数。因此，对称Farrow结构的SOCP优化设计方法可总结为如下步骤：
步骤1 给定采样频率、滤波器带宽、加权系数、系统要求带内群时延波动指标和带内幅频响应波动指标δ（幅频响应误差约束因子）。
步骤2 初始化相频响应误差约束因子ε、滤波器阶数、多项式阶数。
步骤3 根据公式（14）和（17）构造目标函数
步骤4 根据公式（22）～（24）构造线性化幅频响应逼近约束UM·g≤vM。
步骤5 根据公式（27）～（33）构造线性化相频响应逼近约束UP·g≤0。
步骤6 利用凸优化中的内点法［16］，求解公式（36），若求解失败，则同时增加约束因子ε、滤波器阶数和多项式阶数，重新执行步骤3到步骤6。若求解成功，可得对称Farrow结构分数时延滤波器的系数向量g。
步骤7 对分数时延滤波器的幅频响应和群时延波动指标进行检查，若群时延波动或幅频响应波动指标明显优于要求指标，则减少滤波器阶数或多项式阶数；若群时延波动指标比要求指标差，幅频响应波动指标大于等于要求指标，则增加滤波器阶数；若群时延波动指标比要求指标差，幅频响应波动指标优于要求指标，则减小相频响应误差约束因子ε；重新执行步骤3到步骤5，直到满足要求指标。
3 仿真实验
本节将通过仿真实验，对比文献［8］、［10］、［12］和［13］的4种不同设计方法与所提方法的性能，验证所提算法的有效性。注意，文献［12］和［13］与所提方法的独立滤波器系数个数均为(L+1)N/ 2，文献［8］和［10］的独立滤波器系数个数均大于(L+1)N/ 2。本节所用分数时延滤波器设计方法的性能仅与滤波器双边带宽、采样频率的比值有关，与采样频率和双边带宽的绝对值无关。
在以下仿真实验中，所提算法中的逼近误差权重的加权系数w(f, μ)在分数时延滤波器通带内设置为1，其他设置为0。
实验1：本实验利用文献［10］给出的归一化均方根误差评估所提方法的误差性能，并采用与文献［10］相同的设置参数。取分数时延值固定为0.4，多项式阶数为7，采样频率为400 MHz，滤波器双边带宽为380 MHz，相应的带宽与采样频率比值为0.95。采用文献［8］、［10］、［12］和所提方法分别设计分数时延滤波器，不同方法在FIR滤波器长度N不同时的归一化均方根误差如表1所示。由表1可知，当N≤20时，因可优化的独立滤波器系数较少，所提方法的归一化均方根误差比文献［10］略差，但优于文献［12］和文献［8］。当N≥30时，所提方法随着滤波器长度N增加，归一化均方根误差减小速度最快，明显优于其他3种方法。
表1 不同FIR滤波器长度下的归一化均方根误差
N 10 20 30 40 50 60 70 80所提方法3.05×10-2 1.96×10-2 4.6×10-3 2.1×10-3 8.78×10-4 1×10-4 3×10-5 1×10-5文献［12］1.732×10-1 6.99×10-2 3.26×10-2 1.07×10-2 7.9×10-3 4×10-3 2.1×10-3 1.1×10-3文献［10］1.58×10-2 6.1×10-3 5×10-3 3.4×10-3 2.2×10-3 1.6×10-3 1×10-3 9.2×10-4文献［8］9.91×10-2 8.24×10-2 7.9×10-2 7.28×10-2 6.66×10-2 6.09×10-2 5.58×10-2 5.12×10-2
将采样频率、带宽和多项式阶数保持不变，取分数时延值μ分别为0、0.1、0.2、0.3、0.4和0.5，FIR滤波器长度为40。采用文献［8］、［10］、［12］和所提方法分别设计分数时延滤波器，在不同分数时延下的归一化均方根误差如表2所示。由表2可知，由于引入了幅频和相频响应逼近误差约束，所提方法在各时延值处的归一化均方根误差值无大幅波动，具有近似一致的归一化均方根误差值，即滤波器在不同分数时延值下的具有近似相同的时延补偿精度。与其他3种方法相比，所提方法在μ=0.2时具有最大的归一化均方根误差2.9×10-3，小于其他3种方法的最大归一化均方根误差（分别为1.1×10-2，4.3×10-3和1.03×10-1）。因此，所提方法更有利于实现高精度分数时延补偿。
表2 不同分数时延下的归一化均方根误差
μ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5所提方法1.0×10-3 1.6×10-3 2.9×10-3 2.8×10-3 2.1×10-3 2.3×10-3文献［12］1.65×10-7 3.5×10-3 6.7×10-3 9.2×10-3 1.07×10-2 1.1×10-2文献［10］6.6×10-15 1.74×10-4 8.78×10-4 9.78×10-4 3.4×10-3 4.3×10-3文献［8］7.1×10-15 1.3×10-3 1.35×10-2 3.99×10-2 7.28×10-2 1.03×10-1
实验2：设采样频率为400 MHz，滤波器双边带宽为300 MHz，相应的带宽与采样频率比值为0.75，约束幅频响应误差为0.025，与文献［13］中例1的设置参数相同。所提算法将相频响应误差设置为0.001°，分数时延值在[)0,1内等间隔划分为10份，则按照文献［13］的优化问题1要求，在不同FIR滤波器长度N和多项式阶数L下，采用文献［12］、［13］和所提方法获得的10个离散时延值对应的最大群时延波动误差如表3所示。由表3可知，在相同仿真条件下，所提设计方法具有最小的群时延波动误差，更易实现高精度分数时延补偿。
表3 不同设计方法的群时延波动误差
N 8 8 8 10 10 L2 3 4 2 3文献［12］8.04×10-2 4.16×10-2 2.06×10-2 3.48×10-2 3.25×10-2文献［13］7.9×10-2 4.1×10-3 3.4×10-3 3.83×10-2 1.8×10-3所提方法6.05×10-2 1.6×10-3 1.3×10-3 3.17×10-3 8.4×10-4
实验3：某大规模全数字接收阵列的系统工作频段为17.5～17.82 GHz，接收通道数字正交下变频输出采样频率为400 MHz的基带数字信号，用于带宽为320 MHz的宽带时域波束合成，完成通道级幅相加权和分数时延补偿。综合考虑通信体制、通道自身时延误差、孔径渡越时间和测距精度要求，系统时延补偿精度要求优于±0.029 ns，通带幅频响应波动优于0.1 dB。
根据系统要求，分数时延滤波器的采样频率为400 MHz，双边带宽为320 MHz，分数时延在归一化采样周期[)0,1内等间隔取64个离散值，通带幅频响应波动优于0.1 dB。此时单个采样周期被划分为64份，步进为0.039 1 ns，相应的离散时延补偿误差为±0.019 5 ns，故分数时延滤波器的通带群时延波动必须优于（0.029 ns-0.019 5 ns）/2.5 ns=0.003 8个采样点。
采用文献［12］的方法，根据前述要求，取滤波器长度为30，多项式阶数为5，不同分数时延值下的滤波器幅频响应和群时延如图1（a）和（b）所示。图1仅给出了8个分数时延值对应的频率响应。在通带内的最大幅度波动误差为0.001 7 dB，最大群时延波动误差为0.003 2个样本点，均满足前述设计要求。由图1可知，文献［12］的方法在采样频率、滤波器带宽、滤波器长度、加权系数和多项式阶数给定后，幅频响应和群时延逼近误差是固定的，且幅频响应的逼近精度非常高，存在通过调整幅频响应逼近精度，进一步优化的空间。
图1 文献［12］方法在不同分数时延值下的滤波器频率响应
采用本文所提设计方法，设置幅度波动误差δ=0.005 8，对应于幅频响应最大波动误差0.1 dB，相位波动误差ε=0.001°。根据前述要求，取多项式阶数为5，滤波器长度为20，不同分数时延值下的滤波器幅频响应和群时延如图2（a）和（b）所示。图2仅给出8个分数时延值对应的频率响应。在通带内的最大幅度波动误差为0.087 dB，最大群时延波动误差为0.002 6个样本点，均满足前述设计要求。对比两种设计方法可知，所提方法在满足设计要求的同时，通过适当调整幅频响应误差，改善了群时延波动误差，提高了时延补偿精度，降低了滤波器实现复杂度，将分数时延滤波器的独立系数个数从90个降低到60个，更具有实用价值。
图2 本文方法在不同分数时延值下的滤波器频率响应
4 结束语
为了能够通过幅频和相频误差的合理约束，获得满足要求的全局最优、低复杂度的分数时延滤波器，提出了一种基于二阶锥规划的对称Farrow结构分数时延滤波器设计方法。通过与其他方法的对比分析可知，所提方法通过适当调整频率响应逼近误差约束，在降低实现结构复杂度的同时，可获得各时延值处近似相同时延补偿精度，更有利于实现高精度分数时延补偿，因此，所提方法更具应用价值。值得注意的是，所提方法在高精度分数时延离线优化设计时，其优化计算复杂度和存储量均比较大，这一问题的快速优化设计是接下来的一个重要研究方向。
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