0 引 言
波达方向估计［1-5］（Direction of Arrival，DOA）是阵列信号处理［6-7］的一个重要研究方向，在雷达、声呐和无线通信等诸多领域都发挥着重要作用［8-10］。通常采用均匀线阵［11］进行DOA估计，该阵列用N个阵元最多可以分辨出N-1个信号源，因此，需要更多的阵元来检测更多的信号源。此外，该阵列的元件间距不超过输入信号波长的一半，而且由于其阵元位置接近，产生的互耦效应会显著降低DOA的估计性能［12-13］。
近年来，为了检测更多的信号源，引入了共阵的概念。通过利用差分共阵［14］（Difference Co-Array，DCA），提出了稀疏阵列以实现更高的自由度（Degree of Freedom，DOF）和更小的互耦效应。互质阵列［15-16］（Coprime Array，CA）是稀疏阵列的一种，它由两个均匀相交的子阵列组成，并且两个子阵列的阵元个数M和N互质。相较于均匀线阵，它可以获得更稀疏的阵元位置，从而减轻互耦的影响，但是其虚拟阵列中存在大量孔洞，这导致不能充分利用其差分共阵进行DOA估计。
为了解决互质阵列存在孔洞的问题，学者们已经提出了一些改进方法。文献［17］通过阵列运动来填补互质阵列差分共阵中的孔洞，但是该方法的填孔率不高。因此，文献［18］基于阵列运动提出了改进的互质阵列，可以填充所有孔洞，但是在实际应用中，环境的假设条件难以满足。文献［19］和文献［20］都采用一种多频率机制来填充所有的孔洞，使得可以利用由差分共阵提供的所有DOF，但是其操作较为复杂。为了降低复杂度，文献［21］提出了多级互质阵列（Multi-Level Prime Array，MLPA），该阵列由多个均匀线阵组成，每个子阵列的阵元数都是成对互质整数。与互质阵列相比，该阵列有较少的孔洞，可以获得更多的连续延迟，但是该阵列的阵元间距较小，互耦较大。文献［22］提出了互补互质阵列（Complementary Coprime Array，CCA），该阵列可以产生无孔的差分共阵，但是存在严重的互耦效应。因此，文献［23］提出了稀疏互质阵列（Thinned Coprime Array，TCA），表明了扩展互质阵列中存在冗余阵元，移除这些阵元，不影响原始的差分共阵。TCA可以用更少的阵元实现与扩展互质阵列相同的自由度和较小的互耦，但是其仍然存在大量孔洞。文献［24］提出了两种改进互质阵列的方法，这两种方法通过移动位置0处的冗余阵元来进一步减少孔洞以增加连续延迟的数量，但是它们都只是填充了少部分的孔洞。
针对上述问题，本文提出了一个新的互质阵列配置（New Coprime Array，NCA），新阵列可以扩大连续延迟的范围，减少互耦的同时提高估计的性能。
1 互质阵列模型
1.1 信号模型
假设K个远场不相关窄带信号s(t)，分别以入射角θ={θ1,θ2,…,θK}入射到具有Q个阵元的稀疏阵列上，阵元位于nid，1≤i≤Q，其中n1＜n2＜… ＜nQ，并且d=λ/2，λ为波长。稀疏阵列的接收信号模型可以表示为
式中，s(t)=[s1(t),s2(t),…, sK(t)]T是信号源矢量，n(t)是协方差矩阵为σ2I的零均值加性高斯白噪声矢量，A=[a(θ1), a(θ2),…, a(θK)]是阵列流形矩阵，a(θk)是相应的导向矢量，表示为a(θk)=
x(t)的协方差矩阵可以表示为
式中，Rs=E{s(t)sH(t)}，是信号源的协方差矩阵。因为Rx在实际应用中不能直接得到，所以一般用样本协方差矩阵
来代替，即
式中，T为快拍数。将
进行向量化处理得到
式中：V=[a*(θ1)⊗a(θ1),…, a*(θK)⊗a(θK)]是虚拟阵列的阵列流形矩阵；⊗表示克罗内克积；p=
是信号源功率向量；1vec=vec(I)。向量z就是稀疏阵列虚拟阵列的接收信号模型，由于向量化处理后的接收信号为单快拍模型，矩阵的秩存在亏损，所以利用空间平滑算法对矩阵的秩进行恢复，并采用MUSIC算法对得到的结果进行DOA估计。
虚拟阵元的位置由物理阵元的位置之差确定。这个虚拟数组被称为差分数组，用D表示。对于位置集合S={n1,n2,…,nQ}，其差分共阵可以表示为
1.2 互耦分析
在实际应用中，两个位置接近的阵元之间产生的互耦会影响接收到的信号。因此考虑到互耦，公式（1）重新表示为
式中，C为互耦合矩阵。根据文献［25］，在B带宽的互耦模型中，C的元素可以近似表示为
式中，[C]i, j表示矩阵C第i行第j列的元素，ni, nj∈S，耦合系数c0, c1, … , cB满足关系1=c0＞|c1|＞|c2|＞…＞|cB|，c1=cejπ/3，其中c∈[0,1]，cn=c1e-j(n-1)π/8/n，2≤n≤B。
对于物理阵列，耦合泄漏L的定义为
式中‖·‖F表示Frobenius范数，diag(·)表示对角矩阵。
1.3 互质阵列
互质阵列由两个均匀线阵交替排列组成。如图1所示，子阵1由N个阵元间距为Md的阵元组成，子阵2由M个阵元间距为Nd的阵元组成，其中M，N互质，并且M＜N。排列时两个子阵的首个阵元位置重合，因此互质阵列总的阵元数为M+N-1。
图1 互质阵列结构图
文献［24］已经证明当M＞2，N＞3时位置0处的阵元是冗余的，如图1红色矩形框所示，即移除位置0处的阵元不影响差分共阵中连续延迟的范围。由于差分共阵是对称结构，所以在后面的分析中都只考虑其非负部分。
为了尽可能多的填充孔洞，增加连续延迟的数量，本文在互质阵列移除0位置阵元的基础上找到了其他冗余阵元。
2 提出的新阵列
在本节中，首先对差分共阵的结构进行分析，得到互质阵列中冗余阵元的位置，并通过移除这些阵元提出了一个简化互质阵列。然后，根据简化互质阵列中孔洞的位置，将这些冗余阵元移动到新的位置得到新的互质阵列，新互质阵列有更多的连续自由度。
2.1 移除冗余阵元的阵列分析
移除冗余阵元后简化互质阵列（Simplified Coprime Array，SCA）的位置，可表示为
式中，
由公式（9）可知，在移除位置0处阵元的基础上还可以移除位于
位置的阵元，并且
证明：差分共阵的内部结构可以分为自差集和互差集，分析中忽略半波长d。
集合A和集合B分别包含互质阵列两个子阵列的阵元位置Mn和Nm，其中1≤n≤N-1，1≤m≤M-1。自差集diff(A, A)和diff(B,B)分别表示为
互差集diff(A, B)和diff(B, A)分别表示为
下面分析移除
-1个冗余阵元对差分共阵的影响。
首先考虑自差集，P1的自差集表示为
等价于diff(A, A)，P2的自差集表示为diff(P2, P2)={Nm|0≤m≤M-2}，与diff(B,B)相等。因此移除
-1个冗余阵元不影响差分共阵的自差集。
其次考虑这些冗余阵元在互差集diff(A,B)中的延迟，相关的延迟可以表示为
这些延迟可以由剩余元素之间的差生成，即存在
使得
则有
当2≤m1+m2≤2(M-1)且M和N互质时，有m1+m2=M和n1+n2=N，因此，m2=M-m1，m2∈[1,M-1]，n2=N-n1，n2
m2和n2都满足约束条件。
因此，diff(A, B)中对应于冗余阵元所产生的延迟可以由剩余物理阵元产生。
同理，diff(B, A)中对应于冗余阵元所产生的延迟也可以由剩余物理阵元产生。证毕。
综上所述，证明了图1蓝色矩形框所示的
-1个冗余阵元的存在。又已知位置0处的阵元也是冗余阵元，所以总的冗余阵元个数为
2.2 孔洞的二维表示
为了更好地说明孔洞填充的过程，本节将分析SCA中孔洞的位置，并将其表示成二维形式。
移除位置0处的阵元后虚拟阵列多了(M-1)N位置的孔洞。SCA的阵列孔径为(N-1)M-M。若(M-1)N＞(N-1)M-M，则前者不影响SCA阵列孔径内孔洞的位置。SCA孔洞的位置可以表示为
式中
h∈[M+N,(N-1)M-M]。
若(M-1)N＜(N-1)M-M，即2M＜N时，SCA孔洞的位置表示为
式中，0≤a≤
h∈[M+N,(N-1)M-M]。
基于H中a+b的值可以将这些孔洞元素分为几层，其中a≥0，b≥0。重新排列每一个孔洞层，例如，第i层的元素由M+N+aM+bN构成，a+b=i。在每一层中，孔洞的位置都按照升序排列，最终可以将所有的元素排列成一个类似三角形的结构，该结构被称为孔洞三角形。
例如：M=4，N=9时的孔洞三角形如图2所示。2M=8＜N满足公式（18）。圆圈表示孔洞元素，圆圈上方给出这些元素对应的数学表达式，红色圆圈表示N(M-1)位置孔洞，该元素不满足M+N+aM+bN的形式，所以被安排在三角形结构之外。利用这个三角形，可以有效地填充孔洞。
图2 M=4，N=9时的孔洞三角形
2.3 新互质阵列
新互质阵列（NCA）阵元的位置由下式给出：
NCA共有M+N-1个物理阵元，这与互质阵列完全相同。
如图2所示，红色虚线上的孔洞元素都按照升序排列，并且每两个相邻元素之间的差为N，所以对于每条红色虚线上的元素都可以用h±Nm来表示，其中
如果将阵元安排在图2蓝色虚线元素（孔洞三角形最外侧左边元素）减N的对称负位置上，即-(h-N)，则这些元素及其对应红色虚线上的其他元素都可以被填充。
蓝色虚线上的元素表示为h′=M+N+aM∈h，其减N的对称负位置为-(h′-N)。S1的元素为{mN|1≤m≤M-1}。对于每条红色虚线上的孔洞元素h′+iN有
因为
，所以1≤i+1≤
+1是[1,M-1]的元素，即为S1中的元素。因此，根据公式（20）可知，h′及其对应红色虚线上的孔洞元素都会被填充。
综上所述，将
个冗余阵元重新安排在-(h′-N)即S4位置上可以填充大部分的孔洞，增加阵列连续延迟的数量，并且将阵元安排在更稀疏的位置可以降低阵元间的互耦效应。
性质1：NCA的连续延迟范围是
证明：如图2所示，因为共有
个冗余阵元，所以能填充
个蓝色虚线上的元素，以及这些元素对应红色虚线上的其他孔洞元素。蓝色虚线上的元素表示为M+N+aM，
能被冗余阵元填充的元素为M+N+aM，a∈
① 当M=3时，若使
1，得到N≤13，所以在M＜N≤13时，蓝色虚线上的元素及其对应红色虚线上的元素全部被冗余阵元填充。当N≥14时，
对于孔洞三角形来说第一个没有被填充的元素出现在
又根据公式（18），当
1，即2M＜N时，会存在N(M-1)位置的孔洞，该元素不在孔洞三角形内，无法被填充。因此，在7≤N≤13范围内，阵列的连续区间为[-(N(M-1)-1), N(M-1)-1]。当N≥14时，
恒成立，此时阵列的连续区间为[-(N(M-1)-1),N(M-1)-1]。因此，当N≥7时阵列的连续区间为[-(N(M-1)-1),N(M-1)-1] 。而当M＜N≤5时，阵列的连续区间为[- ((N-1)M-M),(N-1)M-M] 。
② 其他情况的证明过程与①相同。证毕。
3 自由度分析
表1比较了M≥5，N≥8时4种阵列的连续自由度。这4种阵列分别是所提阵列NCA，CA［15］，文献［24］提出的阵列1（Proposed Method1，PM1）和阵列2（Proposed Method2，PM2）。从表中可知，在具有相同物理阵元数的情况下，NCA的连续自由度最大。表2比较了3≤M≤4，N≥8时上述4种阵列的连续自由度。由分析可知，在具有相同物理阵元数的情况下，当M=3时，NCA的值略小于PM2，而当M=4时，NCA的连续自由度最大。
表1 M≥5，N≥8时不同阵列的连续自由度
阵列CA PM1 PM2 NCA uDOFs 2()M+N-1+1 2()M+N-1+M+1 2()M+N-1+N+1 2()M+N-1+■■()N-12M+1
表2 3≤M≤4，N≥8时不同阵列的连续自由度
阵列CA PM1 PM2 NCA uDOFs 2()M+N-1+1 2()M+N-1+M+1 2()M+N-1+N+1 2()N(M-1)-1+1
综上所述，与现有的几种互质阵列配置相比，通常情况下NCA可以获得更大的连续自由度。少数情况下，NCA的值略小于PM2，但是仍然比其他配置的连续自由度多。
4 仿真实验
本节将提出的NCA与CA［15］，三级互质阵列［21］（Three-Level Prime Array，3LPA），PM1［24］和PM2［24］进行比较，验证所提方法的优越性。采用MUSIC算法进行DOA估计。每个阵列都由12个阵元组成，即M=5，N=8，对于3LCA，设置m1=3，m2=4，m3=7，阵元间距G={7，3，4}d。5种阵列性能的比较结果如表3所示。
表3 5种阵列性能的比较结果
阵列CA 3LCA PM1 PM2 NCA连续区间［-12,12］［-18,18］［-17,17］［-20,20］［-27,27］uDOFs 25 37 35 41 55耦合泄露L 0.222 9 0.305 6 0.221 4 0.221 1 0.173 3
仿真1 角度估计性能对比
假设有9个窄带不相关信号，这些信号均匀分布在-40°～ 40°之间。快拍数T=1 500，信噪比SNR=20 dB，耦合参数c0=1，c1=0.3ejπ/3，B=100。实验结果如图3所示，其中紫色虚线表示真实的DOA。由图3可知，只有NCA可以准确地估计出目标信号，其谱峰更尖锐，波束宽度更窄，而其他阵列对于部分信号源的估计存在误差，角度分辨率较低。表3表明，NCA的连续自由度数量多于其他阵列，而且其耦合泄漏最小，因此NCA具有更好的估计性能。
图3 不同阵列的角度估计图
仿真2 均方根误差随信噪比变化的曲线图
均方根误差定义由下式给出：
式中，J表示蒙特卡罗实验的次数，P表示目标信号源的数目，
表示第j次实验中θp的估计值。
假设有3个窄带不相关信号，这些信号均匀分布在-10°～10°之间。快拍数T=30，耦合参数c0=1，c1=0.1ejπ/3，B=100。蒙特卡罗实验次数为100。实验结果如图4所示，在低快拍的情况下，随着信噪比的增大，5种阵列的均方根误差整体上都呈现下降趋势，又因为NCA扩展了连续的差分共阵，并且存在较低的互耦效应，所以NCA实现了更好的估计性能。
图4 不同信噪比下阵列的均方根误差曲线图
仿真3 均方根误差随快拍数变化的曲线图
假设有3个窄带不相关信号，这些信号均匀分布在-10°～10°之间。信噪比SNR=-5 dB，耦合参数c0=1，c1=0.1ejπ/3，B=100。蒙特卡罗实验次数为100。实验结果如图5所示，在低信噪比的情况下，随着快拍数的增大，5种阵列的均方根误差在整体上都呈现下降趋势，然而NCA的误差始终最低，这是因为NCA通过重新排列冗余阵元的位置，增加了连续自由度的数量，从而获得了更好的DOA估计性能。
图5 不同快拍数下阵列的均方根误差曲线图
仿真4 均方根误差随耦合参数c变化的曲线图
假设有6个窄带不相关信号，这些信号均匀分布在-30°～20°之间。快拍数T=1 000，信噪比SNR=10 dB，耦合参数c0=1，c1=cejπ/3，B=100。蒙特卡罗实验次数为100。实验结果如图6所示，随着c的增大，5种阵列的均方根误差都呈现上升趋势。其中受互耦影响最大的是3LCA，因为该阵列的阵元间距最小。相比之下，NCA的均方根误差始终最小，它的DOA估计精度最高。
图6 不同c下阵列的均方根误差曲线图
仿真5 耦合泄露随着阵元个数变化的曲线图
假设有9个窄带不相关信号，这些信号均匀分布在-40°～40°之间。阵元总数从14个以4个为间隔均匀地增加到98个。快拍数T=1 500，信噪比SNR=20 dB，耦合参数c0=1，c1=0.3ejπ/3，B=100。实验结果如图7所示，随着阵元数量的增加，5种阵列的耦合泄露都呈现下降趋势，相较于其他阵列，NCA的耦合泄露始终最低，因为其较大的阵元间距可以减轻互耦。
图7 耦合泄露随着阵元个数变化的曲线图
5 结束语
为了填充互质阵列中的孔洞，本文通过移动冗余阵元提出了一种新的互质阵列。首先，对互质阵列差分共阵的结构进行分析，得到了冗余阵元的位置，通过数学推导得出：移除这些阵元不影响阵列的连续区间，然后，利用孔洞的二维表示，移动冗余阵元到新的位置形成新的稀疏阵列，并且给出了新阵列阵元位置的数学表达式。最后，仿真实验结果表明，所提的新阵列具有更好的角度估计能力，更大的连续延迟和较低的互耦。而且，该阵列在低快拍、低信噪比和高互耦的情况下都具有良好的性能，验证了所提阵列的优越性。
［1］ 李荣禄，汤建龙，袁永强.基于TOEPLITZ重构的压缩感知嵌套阵列DOA估计［J］.雷达科学与技术，2024，22（3）:334-340.
［2］ LIU Linxi, LIU Shengheng, HUANG Yongming, et al.Joint DOA-Range Estimation Using Moving Time-Modulated Frequency Diverse Coprime Array［C］//2022 IEEE Radar Conference, New York, USA: IEEE, 2022:1-6.
［3］ ZHANG Xue, ZHENG Zhi, WANG Wenqin, et al.Joint DOD and DOA Estimation of Coherent Targets for Coprime MIMO Radar［J］.IEEE Trans on Signal Processing, 2023, 71:1408-1420.
［4］ MATTER F, FISCHER T, PESAVENTO M, et al.Ambiguities in DOA Estimation with Linear Arrays［J］.IEEE Trans on Signal Processing, 2022, 70:4395-4407.
［5］ HE Shun, SUN Nan, YANG Zhiwei.Designing Sparse Extended Nested Arrays with High Degrees of Freedom and Low Coupling［J］.Signal Processing, 2025，227:109702.
［6］ 吴丙森，刘庆华.基于稀疏对称阵列的混合信源定位［J］.雷达科学与技术，2020，18（1）:74-81.
［7］ FERNÁNDEZ-MENDUINA S, KRAHMER F, LEUS G, et al.Computational Array Signal Processing via Modulo Non-Linearities［J］.IEEE Trans on Signal Processing, 2022,70:2168-2179.
［8］ 陈金立，张程，陈宣，等.阵元失效下基于矩阵重构的MIMO雷达DOA估计［J］.雷达科学与技术，2022，20（5）:524-530.
［9］ XU Yang, ZHENG Zhi.Joint DOD and DOA Estimation for Bistatic MIMO Radar in the Presence of Unknown Mutual Coupling［J］.Circuits, Systems, and Signal Processing, 2023, 42（4）:2468-2479.
［10］ KARIM B A, ALI H K.Computationally Efficient MUSIC Based DOA Estimation Algorithm for FMCW Radar［J］.Journal of Electronic Science and Technology,2023, 21（1）:100192.
［11］ SHI Wanlu, LI Yingsong.Improved Uniform Linear Array Fitting Scheme with Increased Lower Bound on Uniform Degrees of Freedom for DOA Estimation［J］.IEEE Trans on Instrumentation and Measurement, 2022,71:1-14.
［12］ ZHOU Chengwei, GU Yujie, SHI Zhiguo, et al.Structured Nyquist Correlation Reconstruction for DOA Estimation with Sparse Arrays［J］.IEEE Trans on Signal Processing, 2023, 71:1849-1862.
［13］ ZHANG Zongyu, SHI Zhiguo, GU Yujie.Ziv-Zakai Bound for DOAs Estimation［J］.IEEE Trans on Signal Processing, 2023, 71:136-149.
［14］ KAZARINOV A S, MALYSHEV V N.The Experimental Research of DOA Estimation Based on Difference Co-Array Method［C］//2023 IEEE 24th International Conference of Young Professionals in Electron Devices and Materials, Novosibirsk, Russian Federation: IEEE, 2023:390-393.
［15］ PAL P, VAIDYANATHAN P P.Coprime Sampling and the MUSIC Algorithm［C］//2011 Digital Signal Processing and Signal Processing Education Meeting, Sedona,AZ, USA: IEEE, 2011:289-294.
［16］ MA Penghui, LI Jianfeng, PAN Jingjing, et al.Coherent Signal DOA Estimation with Coprime Array: Exploiting Signal Subspace Reconstructing Strategy［J］.IEEE/ACM Trans on Audio, Speech, and Language Processing, 2023,32:497-508.
［17］ QIN Guodong, AMIN M G, ZHANG Yimin D.DOA Estimation Exploiting Sparse Array Motions［J］.IEEE Trans on Signal Processing, 2019, 67（11）:3013-3027.
［18］ SUN Lu.Improved Coprime Array Designs Based on Moving Platform for Direction of Arrival Estimation［J］.IEEE Sensors Journal, 2023, 23（5）:5288-5298.
［19］ BOUDAHER E, JIA Yong, AHMAD F, et al.Multi-Frequency Co-Prime Arrays for High- Resolution Directionof-Arrival Estimation［J］.IEEE Trans on Signal Processing, 2015, 63（14）:3797-3808.
［20］ LIU Yang, BUCK J R.High-Resolution Direction-of-Arrival Estimation in SNR and Snapshot Challenged Scenarios Using Multi-Frequency Coprime Arrays［C］//2017 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, New Orleans, LA, USA: IEEE, 2017:3434-3438.
［21］ ALAWSH S A, MUQAIBEL A H.Multi-Level Prime Array for Sparse Sampling［J］.IET Signal Processing,2018, 12（6）:688-699.
［22］ WANG Xiaomeng, WANG Xin.Hole Identification and Filling in k-Times Extended Co-Prime Arrays for Highly Efficient DOA Estimation［J］.IEEE Trans on Signal Processing, 2019, 67（10）:2693-2706.
［23］ RAZA A, LIU Wei, SHEN Qing.Thinned Coprime Array for Second-Order Difference Co-Array Generation with Reduced Mutual Coupling［J］.IEEE Trans on Signal Processing, 2019, 67（8）:2052-2065.
［24］ 刘可，朱泽政，于军，等.基于互质阵列孔洞分析的稀疏阵列设计方法［J］.电子与信息学报，2022，44（1）：372-379.
［25］ LIU Chunlin, VAIDYANATHAN P P.Super Nested Arrays: Linear Sparse Arrays with Reduced Mutual Coupling-Part I: Fundamentals［J］.IEEE Trans on Signal Processing, 2016, 64（15）:3997-4012.