脉间跳频雷达高度表回波相关性分析

雷达高度表是一种重要的微波遥感测高仪器，可通过计算发射脉冲和接收回波的延时来测量平台的高度［1-2］。根据载荷不同，雷达高度表划分为星载、机载和弹载。按照波形体制分类，雷达高度表可分为调频连续波雷达高度表和脉冲雷达高度表两大类［3］。雷达高度表凭借全天候、大范围、高精度等优点，被广泛用于军事和民用领域。

在雷达测高早期阶段，脉冲限制雷达高度表的回波脉间相关性一直是重要研究课题。研究脉间相关性具有重要意义，主要体现在以下两方面［4］：首先，雷达高度表的回波脉间相关性决定了高度估计算法的噪声性能。具体而言，脉间相关性越强，雷达高度表回波非相参叠加时的起伏越大，对信号检测和高度估计造成干扰；其次，通过分析雷达高度表回波信号的相关性，可对高度和表面特性建模，实现最大似然参数估计［4］。根据傅里叶变换的不确定性定理，信号时域宽度与频率宽度存在反比关系［5］。因此在雷达高度表信号处理过程中，通过降低回波信号的脉间相关性，可以有效拓宽信号频谱宽度，进而提升系统的距离分辨率。脉间相关性研究可以为后续检测性能和波形设计提供统计理论支撑。

文献［6］建立了高度表面目标照射几何模型并推导了回波表达式。在假设接收信号自相关函数、海洋表面高度和天线方向图是高斯型的情况下，推导出了回波脉间相关性的显式表达式。然而，该模型忽略了天线误指向角和地球曲率的影响，且计算过程复杂，缺乏普适性。文献［4］在文献［6］的基础上，在照射模型中引入了误指向角和地球曲率的影响，推导出一般性的三项卷积结果，即点目标响应、表面高度概率密度函数和平坦表面脉冲响应三项卷积。该模型类似布朗三项卷积模型［7］，可以适应不同观测场景，并且可以通过快速傅里叶变换提高计算效率。文献［8］根据光学的范西特-泽尼克定理建立了天底点均匀照射区域的Walsh去相关脉冲重复频率模型。该模型给出了使回波脉间相关性为零时，脉冲重复频率的计算公式。

后续研究主要分析实测数据，研究影响相关性大小的因素。文献［9］通过分析Skylab雷达高度表数据研究了星载雷达高度计中脉冲重复频率对脉间相关性的影响。实验数据表明，在高脉冲重复频率（Pulse Repetition Frequencies,PRF）区域，PRF越高，脉间相关性越大。并且在高海况（大波浪）时需要更高的PRF以确保脉间回波去相关。文献［10］通过分析Seasat高度表数据进一步分析了海况与脉间相关性的影响：在低海况时，相邻波形相关性很小；在高海况时，脉间波形显著相关。文献［11］表明在延迟多普勒高度表等新型雷达系统中，为实现更高精度的测量性能，系统需要采用更高的PRF。然而，在低分辨率工作模式下，信号处理过程会引入显著的脉冲间相关性。基于Cryo-Sat-2 SAR的高PRF全比特率数据［12］，研究发现在不同距离分辨单元脉间相关性存在非均匀性，即波形前沿相关性高，波形后沿相关性快速下降。而这些差异对参数反演具有不同影响［13］。

雷达高度表正逐步采用高PRF设计，这种技术的主要优势是在相同时间间隔内增加有效积累数（Effective Number of Looks,ENL）［14］，从而提高系统测量精度。然而，传统雷达高度表主要工作在固定载频下，当脉冲重复频率增大时，回波脉间相关性也随之增大，这将影响雷达高度表信号检测性能和测高精度［11］。本文引入脉间跳频技术，由于不同频率的脉冲对同一散射体回波相位关系差异变大，可以降低脉间相关性［15］。同时脉间跳频技术因其优异的抗干扰能力受到广泛关注。与传统脉冲多普勒雷达不同，脉间跳频雷达的载波频率在一定范围内捷变，具备强抗干扰能力、低截获概率等特点［16］，具有重要的应用价值。

针对脉间跳频场景，本文建立雷达高度表信号模型，推导出不同距离分辨单元回波脉间相关性三项卷积模型。基于高斯型方向图假设，进一步导出了广义平坦脉冲响应的解析表达式，并通过数值仿真验证了模型正确性。基于所建模型，本文提出了一种以最小化非相参叠加波形方差为目标的载频序列优化方法，并使用模拟退火算法求解。实验结果表明：在高PRF下，脉间跳频的回波相关性比固定载频下更低；跳频间隔越大，回波脉间相关性越小；此外，分析不同距离门的相关性系数发现，回波波形前沿的相关性大于波形后缘；所提出的波形优化方法有效提升了信号检测性能和测高精度。

1 脉间跳频雷达高度表信号模型

1.1 发射信号

在一个非相参处理间隔（Non-Coherent Processing Interval，NCPI）内，系统共发射N个脉冲。设脉冲的初始载频为fc，跳频个数为M（其中N ≥M），跳频间隔为Δf，则将第n个脉冲的载频写作

式中，cn为跳频码字，假设其独立同离散均匀分布，在[0,M )随机取整数值。

雷达高度表常用的基带信号有矩形脉冲信号、线性调频脉冲信号等，表示为

式中，A(t)表示包络函数，ϕ(t)表示相位调制项，Tp表示脉冲宽度，t表示第n个射频脉冲的快时间，rect(t)为矩形窗函数，表示为

则第n个射频发射信号为

式中，0 ≤t ≤Tp，0 ≤n ≤N - 1。

以LFM波形为例的脉间跳频示意图如图1所示。

1.2 接收信号

雷达高度表的工作场景为在航向上持续向下垂直发射脉冲信号，以测量飞行器与地面之间的高度等信息。本文假设雷达高度表照射区域为均匀平坦粗糙表面。由于飞行器的飞行速度远远小于光速，雷达回波信号的目标模型可以采用“stopgo”模型近似。在NCPI内，飞行器运动距离远小于脉冲限制足迹，可以认为N个脉冲照射的是同一面目标，示意图如图2所示。

由雷达方程，在满足布朗定理的五项假设［7］下，面目标回波信号可以由面目标内多个散射单元叠加而成，写成积分形式为

式中：Gn表示天线增益，λn表示波长，两者与载频有关；σ0表示雷达后向散射系数；x、y表示直角坐标系下坐标，z表示随机高程起伏，服从高斯分布N(0,σz2)。当雷达高度表照射的表面具有平坦均匀的特性，且表面反射主要表现为均匀镜面反射而无显著离散散射点，则高斯统计模型能够有效表征该表面的微尺度波动特征和散射特性［7，17］。这种均质化与高斯分布的简化假设可将复杂问题降至可处理水平，从而获得更具普适性的解析解。但当表面存在强散射体或起伏较大时，高斯假设不再适用，此时复合高斯分布、莱斯分布或对数正态分布等则更为适用。

Rn(x,y,z)表示雷达到面目标内点(x ,y,z )的距离，其表达式为

式中，vy、vz分别表示雷达高度表在y轴和z轴的速度分量，Tr表示脉冲重复时间，h表示雷达高度表飞行高度。

1.3 接收处理

根据信号处理流程，对面目标回波信号进行下变频和脉冲压缩处理，可以得到

式中，χ( t )表示基带信号sb(t)的模糊函数。

在实际应用中，回波信号通常会受到噪声干扰。本文认为雷达高度表回波信号可以表示为

式中，n(t,n)表示加性高斯白噪声，其均值为零，方差为

。

在雷达检测与估计中，通常需要对多个脉冲进行积累处理，而非单个脉冲。非相参叠加信号的功率可表示为

为了分析式（9）非相参叠加信号的统计特性，即均值和方差，本文引入如下定理。

定理假设面目标非相参叠加回波信号为

，其中y1,y2,…,yN表示每次脉冲回波且服从零均值复高斯分布，令E(yiyj)= Cij，则有P的均值和方差分别为

式中，Pn表示信号功率。

证明由Goodman模型［18］可知，雷达高度表面目标回波信号是由散射单元的独立散射体分量叠加而成，服从零均值复高斯分布，即

。

根据高斯分布的四阶矩计算公式，可知

因此非相参叠加波形的方差为

在实际雷达高度表信号分析中，通常更关注功率的统计特性。根据圆复高斯分布的矩估计定理［20］可以得到

由式（15）可知，功率的协方差可以转换为本文将推导的相关函数，即

根据上述定理，可知非相参叠加信号Pˉ(t)的均值和方差为

从式（17）可以看出，独立信号与具有相关性的信号虽然具有相同的均值，但相关性信号的检测量方差显著大于独立信号，其方差增量为i ≠j时的协方差。这个方差增量会导致信号波形产生更大起伏，进而引入额外噪声，对信号检测和参数估计造成干扰。此外，方差增量与脉间相关性式（16）有关，因此有必要对脉间相关性进行深入分析。

在计算两个回波信号的相关性Cij(t)时，考虑噪声与信号之间不相关。同时，假设噪声与噪声之间满足独立同分布（IID），因此相关性可以写为

将式（7）代入式（18）中，可以得到脉间相关性的积分式为

式（19）中包含复杂的四重积分，且积分内部涉及求均值运算，十分复杂。下一节介绍如何推导，并且分析天底点回波简化后的相关性，以分析脉间相关性整体变化趋势。

2 雷达高度表脉间相关性分析

2.1 三项卷积模型

本小节主要研究式（19）复杂积分的解析求解方法，通过建立通用表达式实现计算过程的规范化处理。考虑到实际应用场景，提出合理的模型简化策略，以保证计算精度的前提下降低计算复杂度。

当平坦地面粗糙度z的标准差δz远大于信号波长，且脉冲长度（c·Tp）远大于波长时，期望内指数项随z的变化比其他因子快得多，并且z、izj独立。因此，指数因子数值在期望运算中占主导作用，指数因子在零的上下快速振荡使得xi ≠xj，yi ≠yj的所有期望结果为零。仅当xi = xj，yi = yj时，指数项相互抵消，期望运算才能得到非零值。因此，N个脉冲使用同一坐标系。式（19）简化为

对于指数项因子Rj - Ri可以使用泰勒一阶近似进行简化，如下

利用上述简化措施和泰勒展开定理，可以将式（20）变为

式中，R表示雷达高度表到平坦表面点目标（x,y,0）的距离。

对上述期望项的表达式进行坐标变换，并利用卷积的定义，可以将其改写为卷积形式：

式中：p(t)服从高斯分布，与粗糙度z有关；符号⊗表示卷积运算。

由冲激函数的性质，h(t)⊗δ(t - 2R/c) =h(t - 2R/c)，可以将式（22）写作三项卷积的形式：

式中，R(t)为广义平坦表面脉冲响应，P(t)为广义概率密度函数，M(t)为点目标响应，数学表达式分别如下：

2.2 广义平坦表面脉冲响应

考虑到飞行平台在飞行过程中可能因气流波动或转向等因素导致波束照射发生一定角度的偏转，因此采用图3的几何模型能够更准确地描述实际平坦表面脉冲响应场景。

采用高斯方向图可以写作

式中：G0表示天线增益常量，与频率呈正相关；γ与波束宽度有关；θ表示方向图指向与误指向的夹角。

利用图3的几何关系和余弦定理可以将误指向角分解到极坐标上，表示为

式中，ξ、ϕmis分别为与z轴和x轴的误指向角。

因此，可以将广义平坦脉冲响应R(t)写作极坐标形式：

式中，A，a和b分别为

,其中

。

仔细观察上式，式中包含一个冲激函数，只有在满足t = 2R/c时，积分才会有贡献。又由于高度表与目标的距离满足

,故而

。将这个关系式代入R(t)，a和b中，可以得到

由于上述积分形式和2π 的积分范围，因此可以忽略误指向角ϕmis的影响（和布朗假设一致）。观察上式，对角度ϕ 的积分满足贝塞尔函数的定义［19］和级数展开形式，因此可以将式（30）积分简化为

式中，In是第一类贝塞尔修正函数。

根据复指数的周期性和正交性，可以对式（31）双重求和进行合并。上述结果的无穷级数形式给模型带来了较大挑战和复杂性。由于a和b远小于1，贝塞尔修正函数的级数展开式中高次项影响可忽略，故工程中可采用前两项近似，这与一阶泰勒展开的特性类似。结合第一类贝塞尔函数的对称性，式（30）可以进一步简化为以下表达式：

特别地，当满足fj = fi,Δ = 0,Δy = 0,Δh = 0时，该模型将退化为经典的布朗模型，体现了模型的一致性和普适性。

2.3 天底点回波相关性

鉴于雷达高度表的核心测量信息主要来源于天底点回波，本小节分析该区域的相关性特性，以简化模型并突出关键影响因素。为求解天底点回波脉冲的相关性，通常对两个位置正下视处的第一个距离分辨单元内的完整回波信号进行相关运算，该相关性可有效表征信号的整体相似度特性和变化趋势。假设目标位于雷达高度表天底点的距离分辨单元内，且忽略信号的幅度和包络变化，不考虑飞机斜飞情况。相距为d的两个天底点脉冲回波信号的相关性函数可以表示为

基于泰勒展开定理对指数项进行近似展开，并结合第一类贝塞尔函数的级数定义，上式可转化为如下形式：

式中：J0表示第一类贝塞尔函数；r表示天底点脉冲照射半径，其计算方式为

。

由于指数项十分复杂，该积分难以直接求解。为此，考虑一些特殊情况，以简化表达式并使其更易于分析和计算。当跳频Δf远远小于信号带宽B时，可以对指数项进行泰勒展开并保留前两阶近似，从而简化积分表达式。最终，积分结果可化简为以下形式：

当贝塞尔函数的系数较小时（即PRF较高时），可将贝塞尔函数进行泰勒展开并保留前两项近似。通过变量代换和分步积分的方法，最终可得到解析表达式为

显然，从上述结果中，可以看出影响脉间相关性大小的因素有脉冲重复频率和脉间跳频。同时观测式（26）和式（33），可以看出当脉间跳频时，引入了一个附加相位exp(j( fj - fi)4πR/c)，使得积分内高频振荡导致正负贡献相互抵消，积分结果模值减小，进而相关性函数变小。

3 波形设计算法

3.1 优化问题建模

理论分析表明，引入脉间跳频技术可以降低回波信号间的相关性，进而可以降低非相参累加信号波形起伏。然而，由于脉间跳频技术中的跳频码字是随机跳变的，不同的跳频顺序对脉间相关性的影响存在显著差异。因此，为了优化非相参叠加效果，基于所搭建的脉间相关性模型设计跳频码字顺序来进一步降低相关性，从而实现更高的信号检测性能和测高精度。因此，可以建立优化模型为

其中，Cs=[0,C12(t),…,C1N(t);C21(t),0,…,C2N(t);…;CN1(t),CN2(t),…,0 ]表示相关函数矩阵。

3.2 优化问题求解

对目标函数进行分析，发现其具有非凸性，因此该问题整体上属于非凸优化问题。此外，目标函数形式复杂，难以直接判断其可微性，因此本文采用全局智能优化算法进行求解。相比于其他全局优化算法（如遗传算法），模拟退火算法具有参数少、计算开销小和实现简单等优势［21］。基于此，本文选用模拟退火算法求解上述问题，具体算法流程如图4所示。图中，F表示目标函数，α表示待优化跳频顺序参数。Metropolis准则［22］是指事件处于状态i和i+1的概率比值等于相应的玻耳兹曼因子比值，即

式中，T为绝对温度，kb为玻耳兹曼常数。

随机数ς 属于［0,1］，若r ＞ς，则新状态i+1为重要状态，取代i状态，否则仍以i为当前状态。模拟退火算法就是采用了上述准则，才可以使其跳出局部，而具有全局最优的能力。

4 实验分析

本节主要针对上述三项卷积模型、天底点相关性、非相参叠加波形和优化设计进行实验仿真与讨论。采用蒙特卡洛数值仿真验证模型正确性，分析跳频与不跳频相关性的变化趋势。

实验基于典型的机载测高场景，模拟平坦粗糙面目标的回波信号生成过程。在蒙特卡洛实验中，发射N个脉冲信号，并对N个回波信号按距离门进行采样。对于每一个距离门，脉间相关性的计算方法［9］为

式中，

,并且xi是相同距离门下第i个回波的瞬时功率值。

因此，可以定义理论模型功率的相关性系数为

下列仿真实验均采用表1所示基本参数。

4.1 三项卷积模型

通过式（39）计算蒙特卡洛回波相关性，式（40）计算理论相关性值。蒙特卡洛实验次数设置为100次。图5展示了固定频率和脉间跳频条件下回波不同距离门相关性的仿真结果。图中，蓝色线条表示蒙特卡洛仿真值，误差条为标准差，用于表示数据的变化范围，中心圆点为多次实验结果的平均值；红色线条表示基于本文推导的相关性模型计算的理论值。

从图中可以得出以下结论：首先，在距离门1～4的热噪声区域中，脉间相关性可以忽略不计。理论模型值与蒙特卡洛仿真值吻合良好，验证了理论模型的正确性；其次，无论是固定频率还是脉间跳频条件，脉冲回波前缘的相关性均高于后缘，这与文献［11］中的结论一致。最后，通过对比左右两图可以发现，在相同的高PRF下，脉间跳频条件下的脉间相关性明显低于固定频率条件，表明脉间跳频技术能够有效降低脉间相关性，从而减少信号间的干扰。

通过控制变量法，分别改变跳频频率和脉冲重复频率，可以系统地研究各参数对模型正确性和相关性的影响，仿真结果如图6所示。在脉间跳频工作模式下，对比图5（b）与图6（a）的仿真结果可知，降低PRF能够显著减弱雷达信号的脉间相关性；同时，对比图6（a）与图6（b）的结果显示，在较高PRF条件下，增大脉间跳频频率同样可以有效降低脉间相关性。

4.2 天底点相关性分析

基于表1所列参数，对式（34）进行了数值仿真，仿真结果如图7所示。图中横轴表示平台移动距离d，纵轴表示归一化相关系数，不同线条代表不同的跳频间隔。仿真结果表明，在固定频率条件下，曲线（蓝色）的第一个零点位置与Walsh极限［9］相符，即满足dw = 0.305 hλ/r。在高PRF条件下（超过Walsh极限），脉间跳频模式下的脉间相关性显著降低；然而，在低PRF条件下，脉间跳频反而会导致更高的相关性。此外，天底点脉间相关性随PRF和跳频参数的变化呈现规律性变化：当跳频量Δf为带宽的整数倍时，在高PRF区域的脉间相关性随PRF的增大而降低；而当跳频量Δf不为带宽的整数倍时，相关性变化趋势相反。

通过多次实验验证，脉间跳频条件下的脉间相关性首个极值出现在固定距离处，该位置与Walsh极限点dw基本一致。

4.3 非相参叠加

前文中，分析了非相参叠加波形的均值和方差，并且说明了脉间跳频可以降低相关性，进而降低波形方差。对非相参叠加波形进行仿真，如图8所示，可以明显观察到脉间跳频下非相参叠加波形的前沿与后缘起伏性显著减小，进而提高检测性能。

ENL是衡量多视处理后的信号噪声抑制效果的一个重要指标，可以被视为雷达在单位时间内从分布式目标获得的独立观测值的数量。ENL越大，说明多视处理后的噪声抑制越好，视数之间的相关性越低。理想情况下，N个独立视数的ENL为N，其计算公式为

式中，μ、σ2分别表示信号的均值和方差。

计算图8固定频率和脉间跳频下天底点处的ENL，分别为1.85和6.74。可以看出脉间跳频下的ENL更高，说明脉间跳频有效降低了脉间相关性。

分别对固定频率和脉间跳频条件下的非相参叠加回波信号进行了检测性能仿真，虚警概率为10-6，PRI为100 μs。图9仿真结果表明，脉间跳频条件下的检测性能优于固定频率条件，这主要得益于脉间跳频技术有效降低了信号间的相关性，从而改善了检测器的性能。同时，随着脉间跳频频率的增大，相关性下降，雷达信号的检测性能也随之提升。

固定脉间跳频大小Δf = 80 MHz，采用表1雷达基本参数，跳频个数分别取2，4，8和16，其检测性能如图10所示。从图中可以看出，增加跳频个数可以降低非相参叠加波形起伏度，进而提升信号检测性能。这与文献［23］具有类似结果，从理论上分析，增加跳频个数，可以使得跳频码字的选择更多，从而间接增大脉间跳频，达到相同的降低非相参叠加波形起伏度的效果。

4.4 优化设计

采用表1雷达基本参数，跳频个数为10，模拟退火算法的初始温度为100，下降速度为0.1，终止温度为10-6，PRI为30e-6 s。仿真结果如图11和图12所示。图11展示了目标函数的收敛曲线，可以看出曲线单调下降后趋于平稳，有效降低了非相参叠加波形的方差。图12展示了经过优化后的波形信号检测ROC曲线。可以看出，在相同信噪比和虚警概率下，优化后的波形信号检测概率最大，固定频波形的信号检测概率最小。表2展示了固定频和优化前后脉间跳频波形下进行高度估计的绝对误差，共进行10组实验，每组实验采取100次重复实验。从表2可以看出，优化前后的脉间跳频波形测高精度都优于固定频率情况，约提升2 m；优化后的测高精度比优化前有效提升，约0.3 m。综上所述，该优化波形设计方法有效提升了雷达高度表系统性能。

4.5 实测数据分析

挂飞实验主要在四川省雅安市附近区域完成，飞行路径覆盖耕地、植被等平坦目标。图13（a）展示了实验区域的光学地图。在数据分析阶段，截取了其中一段20 s时长的数据。根据GPS定位信息，实验期间飞机的飞行高度为3 790 m，平台飞行速度为76 m/s，天线照射半径为5 180 m，脉冲重复时间为70 μs，信号带宽为10 MHz，载频为2.95 GHz。采用步进频方式进行脉间跳频，跳频个数为10，脉间跳频为10 MHz。为简化坐标系，对数据进行了坐标转换，最终得到目标区域的高程数据二维分布图，如图13（b）所示。

通过对目标区域内120个脉冲回波信号进行非相参处理，结果如图14（a）所示。可以看出，在脉间跳频模式下，回波波形的起伏程度明显小于固定频率模式。这一结论进一步得到了图14（b）的验证，采用式（39）和式（40）计算相关性，数据显示脉间跳频模式下信号的相关性显著降低。

5 结束语

本文针对脉间跳频雷达高度表的回波相关性问题，建立了基于不同距离分辨单元和天底点的脉间相关性理论模型，并通过蒙特卡洛实验和数值仿真验证了模型的正确性。仿真结果表明，在高PRF条件下，采用脉间跳频技术能够显著降低脉间相关性。此外，增大脉冲间的跳频间隔可进一步降低脉间相关性。本文还根据所建模型，提出了一种以优化载频跳频序列进而降低非相参叠加波形方差的波形设计方法，并使用参数较少的模拟退火算法求解，实验结果表明该波形设计方法可以提升系统检测和测高性能。

未来的研究方向主要包括：在脉间跳频条件下优化波形设计，考虑更多参数以在约束条件下最大限度地降低信号相关性；针对面目标检测问题，建立具有相关性的回波信号模型，并推导相应的检测统计量；研究脉间跳频雷达高度表相参处理问题，实现高精度测高。这些问题的深入研究将进一步提升雷达高度表的性能，为实际工程应用提供更可靠的理论支撑。

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