0 引 言
外辐射源雷达[1-3]自身不辐射电磁波，而是将第三方（广播电台、电视、基站等）辐射的电磁信号作为照射源，通过接收目标对这些信号的反射信号来探测跟踪目标。具有很好的隐蔽性和抗干扰能力，且成本低廉，在军事应用上越来越受到重视。外辐射源雷达工作时，接收站同时接收辐射源的直达信号和经目标反射的信号，采用信号处理技术，提取方位和时差信息后，估计目标位置并进行跟踪。
雷达跟踪目标时，通常在直角坐标系下建模目标运动，而雷达观测是在极/球坐标系下获取，需要解决用非线性观测跟踪目标的问题。相关研究如扩展卡尔曼滤波[4]（Extended Kalman Filter，EKF）、无迹滤波[5]（Unscented Kalman Filter，UKF）、容积卡尔曼滤波[6]（Culbature Kalman Filter，CKF）、粒子滤波[7]（Particle Filter，PF）、转换量测卡尔曼滤波[8](Converted Measurement Kalman Filter，CMKF)等方法。CMKF因为精度较高、实时性好、实现容易，在实际应用中较为广泛。CMKF核心思想是将极坐标数据转换为直角坐标系的目标位置表达，再用标准卡尔曼滤波器跟踪。当前对CMKF的研究聚焦如何更精确地表达转换量测统计特性，提高无偏性、一致性和鲁棒性。针对上述研究目标，去偏CMKF[9-10]、无偏CMKF、修正无偏CMKF、最佳线性无偏估计滤波（BLUE）[11]、去相关无偏CMKF[12-13]等方法被相继提出，进一步丰富了CMKF的内涵和应用。
去相关无偏转换量测[8]（Decorrelated Unbiased Converted Measurement，DUCM）是新近出现的CMKF方法，它在构造出转换量测模型后，基于预测值估计转换量测统计特性，较好地解决了困扰转换量测的估计偏差和转换偏差两个问题，体现出一定的优越性。外辐射源雷达中，目标到接收站的距离无法直接测定，因此无法构造目标位置的伪线性表达，导致无法应用DUCM滤波器。为此，提出基于外辐射源雷达的滤波初始化模型，并基于位置预测构造出更高精度的等效距离观测和等效方位观测，用于去相关转换量测模型，收到很好效果。
1 外辐射源雷达定位原理分析
图1是外辐射源雷达对目标的观测模型。接收站Rx位于坐标原点，发射站Tx坐标为[L 0]T，目标T的位置[x y]T，接收站测定的是反射波和直达波的到达时差，以及目标相对接收站的方位。由于发射站和接收站间距已知，因此本质上是测定发射站所辐射信号，经目标反射后到达接收站的双基距离和。假设时刻k的双基距离和用rm,k表示，方位观测用αm,k表示，极坐标系内的观测向量用zk表示，zk和目标T位置[x y]T的关系为
图1 外辐射源雷达对目标观测模型
双基距离和观测误差
满足高斯分布
；方位观测误差
满足高斯分布
。
由式（1）可见，目标直角坐标系内位置可以用rm,k和αm,k表达：
式（2）的转换量测虽然能够表达目标位置，但是模型过于复杂，非线性较强，如果应用到DUCM滤波器中，需要泰勒展开到至少二阶，否则无法估计出转换量测偏差，导致滤波发散。但是二阶泰勒展开的计算代价较大，会产生表达式复杂、计算负荷大的问题。本文提出用于外辐射源雷达的去相关无偏转换量测滤波器，通过滤波器初始化、状态预测和更新步骤的有机结合，以更为简洁的形式表征转换量测，实现一种高精度、高置信度、低复杂度的DUCM滤波器。
2 DUCM滤波算法改进
2.1 滤波初始化
在初始化阶段，收集时刻0和1的连续两帧观测，用两点起始法，估计目标初始状态。
假设目标状态估计为
是时刻k的位置估计在各轴的投影；
是时刻k的速度估计在各轴的投影。雷达连续两帧的观测为rm,k(k=0,1)，αm,k(k=0,1)，由式（2）可知，时刻k的目标状态估计可表示为
式中，T是前后两帧的时间间隔。
式（3）的
对rm,k、αm,k分别求微分，可以建立线性关系：
式中，
是时刻k的位置估计误差在各轴的投影。矩阵
，其各元素表达式为
基于双基距离和误差σr和方位误差σα，得到时刻1的观测协方差阵R1：
基于式（6），估计时刻1的状态协方差阵
：
2.2 状态预测
从时刻2开始，收到新的观测后，预测目标状态。
式中，Fk/k -1是状态转移矩阵。
是k -1时刻状态估计，
是k时刻状态预测。
是k时刻的位置估计在各轴的投影；
是k时刻速度估计在各轴的投影。
是k -1时刻状态估计协方差阵，
是k时刻状态预测协方差阵。Qk是k时刻状态噪声协方差阵。
除了式（8）的预测公式，还需要计算目标到接收站的距离预测
，目标到发射站的距离预测
，以及目标到接收站的方位预测
，为2.3节构建转换量测模型做准备。
距离预测
的方差为
式中，
是
的位置分量所组成的协方差阵。
方位预测
的方差为
式（9）～（13）将在下一节的转换量测构造时发挥作用。
2.3 转换量测构造
为降低转换量测的非线性，构造以下的转换量测模型。
式（14）的表达式和有源雷达的转换量测模型相似，但远比式（2）简洁，能有效降低计算复杂度和非线性。下面对相关参数详细解释。
式（14）中，re是等效距离，表达式为
式中，κ1是双基距离和系数，
和
已在式（9）和式（10）中定义。由式（16）可见，当
远大于其预测误差
远大于其预测误差
时，有
，即κ1取值和预测误差无关。特别地，当发射站和接收站位置相同时，κ1=0.5，此时式（14）和有源雷达的转换量测模型是等价的。
κ1取值小于1，因此
等效距离精度优于双基距离和精度。
式（14）中的αe是等效方位，
式中，κ2的取值介于0和1之间，是方位加权系数。等效方位的方差为
由式（15）和式（18）可见，re、αe都是零均值高斯分布，此时式（14）和文献[2]的公式（4）完全一致，是无偏转换量测。
为了使
表达式简洁，式（19）做了近似，下面将证明在一定条件下，式（19）是合理的。
κ2取值需要同时满足式（20）的两个不等式。ρ是比例系数，其取值大于50。
式（20）分别在切向和径向对κ2取值进行约束。不等式1是切向约束，含义是等效方位误差均方远大于方位预测误差均方。可见当ρ＞50且不等式1成立时，式（19）的近似是合理的。不等式2是径向约束，
是测距误差均方，
是测角误差在视轴投影的误差均方，两种误差均方之和远大于预测距离误差均方。
由式（20）可得κ2表达式：
综上可见，式（14）不但表达简洁，且等效距离精度优于双基距离和，等效方位精度优于方位观测。
2.4 状态更新
状态更新阶段的核心步骤是估计转换量测的协方差阵Rk。
假设
，则有
预测距离
，等效距离re与真值r的关系为
方位预测与真值关系为
因此r11有如下形式
经过化简，最终得到
类似可推导出其他元素
推导出Rk后，使用常规卡尔曼滤波方法，计算增益因子Kk。
式中，观测矩阵Hk=[I2×2 02×2]。I2×2和02×2分别代表两行两列的单位阵和零矩阵。
最后修正状态和协方差阵，完成状态估计。
至此完成一次滤波预测和更新，当有新的观测到来时，转到状态预测步骤，重复以上过程。算法涉及的关键步骤及公式如表1所示。
表1 DUCM改进算法的关键步骤
改进算法步骤 改进算法所用公式滤波器初始化 式（3）、式（7）目标状态预测 式（8）～（13）构造转换量测 式（14）目标状态更新 式（28）、式（29）
3 仿真分析
将所提DUCM滤波器与经典确定性采样算法无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）分别用于外辐射源目标跟踪，进行对比分析。在实际应用中，外辐射源雷达为保证通视，发射站和接收站间距较近。假设接收站位于原点，发射站距离接收站20 km处。双基距离和误差σr=1 000 m，方位误差σα=5°。目标初始位置（0,200） km，全程做（250,0） m/s的近匀速运动，采样周期1 s，蒙特卡洛仿真次数100次，仿真时长300 s。两种方法都采用2.1节所提的初始化方法初始化滤波器。仿真中考核位置均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）和平均归一化估计误差平方（Average Normalized Estimation Error Square，ANEES）指标。为方便对比，在比较平均归一化估计误差平方性能时，采用log10(ANEES)对数指标。RMSE指标的评价标准为数值越小，精度越高。log10(ANEES)的评价标准为数值越接近于0，滤波置信度越高。
首先考察两种算法对低过程噪声目标运动的跟踪性能，在场景1中，目标沿直角坐标系各轴的加速度噪声为0.1 m/s2。仿真对比结果如图2所示。
图2 低过程噪声场景的跟踪性能对比
图2（a）是目标运动轨迹和接收站/发射站的位置部署。在图2（b）中，由于接收站和发射站的间距较近（20 km），因此目标到两站的距离接近，可以观察到所提DUCM算法的双基距离和系数在0.5左右浮动。在135 s之前，方位加权系数保持为1；第150 s开始，逐渐下降至0.55左右，原因在于：跟踪初始阶段，位置误差较大，导致方位预测不准，等效方位误差等于方位观测；随着滤波收敛，方位预测精度逐渐优于方位预测，等效方位误差小于方位观测；在等效距离和等效方位的双重作用下，图2（c）中所提算法的收敛速度和位置精度都优于UKF，位置精度可达1.7 km以下，滤波置信度也优于UKF（如图2（d）所示），验证了所提算法的优越性。
接着考察两种算法对高过程噪声目标运动的跟踪性能，在场景2中，目标沿直角坐标系各轴的加速度噪声提高到1 m/s2。仿真对比结果如图3所示。
图3 高过程噪声场景的跟踪性能对比
在图3（a）中，由于过程噪声增大，目标的运动轨迹有了更多的不确定性。图3（b）的双基距离和系数曲线与场景1类似，在0.5左右浮动。图3（b）的方位加权系数在150 s之前保持为1，第150 s开始，逐步下降至0.75左右，无论下降开始时间和下降幅度，都不如场景1明显。原因在于：高过程噪声场景中，方位预测精度相对低过程噪声场景（场景1）有所下降，因此所提DUCM算法在方位上的提升作用有所弱化。图3（c）中，所提算法的位置精度优于UKF，精度可达2.2 km，滤波置信度也优于UKF，如图3（d）所示。
综合以上两个场景的仿真结果，所提DUCM算法通过重构出结构简单、非线性更弱、观测误差更小的转换量测模型，提升外辐射源雷达对目标的定位跟踪能力，在不同过程噪声水平下，估计精度和置信度都高于其他经典方法。
4 实测数据分析
在某次试验中，采集民航目标的外辐射源观测数据进行验证。如图4（a）所示，接收站和发射站的间距约为6.7 km，民航飞机向东南方向飞行，时速约为800 km/h，在此过程采集到153个样本，采样周期约2.7 s，外源雷达的双基距离和精度约1 500 m，测向精度约4.5°。用所提算法和UKF分别跟踪后，与民航的ADS-B数据比对，结果如图4所示。
图4 实测场景跟踪性能对比
在图4（b）中，双基距离和系数约0.5，方位系数在300 s前保持为1，后逐渐减小。由图4（c）可见，DUCM位置精度明显优于UKF。在图4（d）中，两种方法的ANEES接近。该结果验证了算法的工程可用性。
5 结束语
外辐射源雷达具备低成本、强抗毁特点，能在复杂电磁环境下的电子侦察中发挥重要作用。由于辐射源的非合作特性，外辐射源雷达观测误差较大，需要采用滤波算法提高估计精度。为了在外辐射源雷达中应用去相关无偏转换量测滤波器，提出一种改进的转换量测模型，改进模型中引入更高精度的等效距离和等效方位，因此非线性和复杂度相比原有模型有显著改善。在位置估计精度、滤波置信度和计算量的综合对比中，所提算法优于确定性采样的代表性算法UKF，仿真和实测数据结果验证了其合理性。
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