0 引 言
当雷达系统面临复杂的地理环境时，经过目标检测环节后不可避免会产生大量的杂波点迹，需要在航迹处理之前，根据点迹的特性进行预处理，剔除虚假杂波点迹，保留真实目标点迹，减轻航迹处理系统的压力，提升目标跟踪质量。一种有效的方法是根据点迹的特征进行分类，区分出真实目标点迹和杂波虚假点迹，从而将虚假点迹剔除问题转换为真假点迹的分类问题。近年来，基于K近邻、支持向量机、神经网络等机器学习类方法已被应用于点迹分类与杂波点迹滤除［1-3］。
在解决分类或识别问题时，通常先通过预处理提取有效特征，再利用分类器进行分类或识别［4-7］。在点迹过滤方法中，预处理环节提取的特征越丰富，点迹分类的正确率越高，点迹滤除效果越好，但丰富的特征包含较多的数据维数，直接进行处理会引起维数灾难问题。考虑到目标或杂波点迹的信号级原始数据虽然数据维数较多，但具有稀疏结构，这意味着该高维数据可以投影到低维空间而不会丢失重要信息。因此，在保留有效特征的前提下，尽可能将信号从高维空间降低到低维空间，是提升特征提取效率的重要技术途径［8-12］。
基于降维思想的典型特征提取方法如主成分分析法（PCA）［13］、线性判别分析法（LDA）［14］及其差分形式的最大边缘准则（Maximum Margin Criterion，MMC）算法［15］等。该类线性子空间方法以其简单、高效和易于实现的特点得到了广泛应用。然而，该类方法只考虑了数据的全局结构信息，描述数据的非线性流形结构或局部线性结构的能力不足，在处理高度非线性数据时存在一定的局限性。高维数据通常具有低维的流形结构或者局部线性结构，而流形学习方法可高效提取高维数据中潜在的低维流形结构，近年来基于流形学习的降维算法受到广泛关注。例如局部线性判别嵌入（Locally Linear Discriminant Embedding，LLDE）算法［16］通过保持降维前后样本间的局部结构信息,提升了分类能力。在文献［16］的基础上，文献［17］利用样本类型的先验信息，提出了局部保持判别投影（Locality Preserving Discriminant Projections，LPDP）算法，进一步提升了算法的可视化性能。文献［18］中提出了一种图嵌入（Graph Embedding，GE）框架，对现行的流形学习算法进行了统一，并进一步提出了边缘Fisher分析（Marginal Fisher Analysis，MFA）降维算法，其性能优于线性子空间类方法。这类图嵌入类方法的不同之处主要体现在图的构造方式的差异。最常见的方法是根据预设的邻近参数，利用样本的K近邻获取样本的加权图。然而由于不同的样本具有不同的局部结构，采用统一、固定的邻近参数必然会带来性能的损失。实际应用中，能够准确描述所有样本局部结构特征最优邻近参数往往难以获得。
稀疏表示（Sparse Representation，SR）和协同表示（Collaborative Representation，CR）是两种有效的特征提取方法［19-21］。二者都采用正则化最小二乘方法实现对样本的表示学习，并利用表示系数自适应提取数据的局部结构特征，实现样本数据的有效分类。文献［22］结合SR提出了一种判别稀疏近邻保持嵌入算法，该算法利用稀疏表示提取样本的局部特征，并保持样本降维前后的稀疏重构关系，取得了较好的识别性能。文献［23］基于CR提出了协同表示投影（Collaborative Representation based Projection，CRP）算法，该算法忽略了样本的类别信息，导致识别性能有限。文献［24］在CRP的基础上提出协同表示重构投影（Collaborative Representation Reconstruction based Projection，CRRP）算法，大幅提高了算法的性能。文献［25］提出了正则化最小二乘判别投影（Regularized Least Square based Discriminative Projections，RLSDP）算法，该算法通过最小化样本的重构误差来保持样本间的重构关系，同时最大化类间散度信息增加不同类样本之间的距离，从而提升了算法的分辨能力，但RLSDP算法存在三个方面的问题：第一，在样本重构过程中，忽略了类别间的重构关系，造成类别间数据结构信息的损失，当不同类别样本间的相似性较大时，会引起较大的重构误差；第二，代价函数中未考虑对每一个类别中所有样本之间距离的最小化，导致投影空间中类内样本紧致性不足，造成判别性能损失；第三，保持了投影前后协同表示关系的一致性，忽略了对局部相似结构信息的保持，造成算法的鲁棒性不足。三个方面问题导致RLSDP对某些数据判别能力不足。
为此本文提出了一种正则化最小二乘加权判别投影（Regularized Least Squares Weighted Discriminant Projections，RLSWDP）的点迹特征提取算法。该算法为了实现重构误差最小化，采用高维空间中所有样本的协同表示系数对每个样本进行重构。更重要的是，该算法利用表示系数构造加权矩阵，一方面可维持样本在投影前后类内局部相似结构信息的一致性，另一方面通过最小化同类别样本之间的距离，提升投影空间中同类样本的聚集性。最后为了提升算法在小样本情况下的稳定性，利用MMC思想构造代价函数，同时实现类间散度信息最大化和类内样本距离的最小化。算法利用特征值分解的方法求解代价函数，获得最优投影矩阵的解析解。在公开的YALE人脸数据集上的实验结果表明，本文提出的特征提取方法可以取得比其他方法更好的性能，特别是在训练样本比较少和特征维数比较低时，文中所提算法更具有明显的优势。在雷达实测数据上的验证结果表明，基于本文提出的特征提取算法对杂波点迹实现90%以上的滤除率，同时目标点迹损失率保持在1%以下。
1 基于特征提取的点迹滤除方法
1.1 样本数据与处理流程
杂波点迹滤除的效果依赖于点迹分类的正确率，而分类器是解决分类问题最基础、应用最广泛的模型之一。分类器具有不过分依赖专家经验和人工设定的硬性规则，尽量“让数据自己说话”的特点，其层次化的结构使得算法能够从数据中学习得到抽象的特征，从而有利于发现数据本身的内在关系，并最终提升分类性能，常见的分类器算法有决策树、随机森林、支持向量机、朴素贝叶斯和神经网络等。分类器的性能高度依赖于输入数据的质量，如果训练数据的有效特征缺失或者无效特征过多，训练出的分类器性能会大打折扣，因此，保持数据特征的丰富性，往往比选择分类器更重要。
为了保留数据最原始的特征，基于特征提取的杂波点迹过滤方法以点迹的信号级原始数据为输入，由于一个点迹可能扩展到相邻的多个波束，且每个波束内的信号级原始数据包含距离和多普勒两维信息，因此一个点迹的完整的信号级原始数据包含相邻每个波束的距离和多普勒信息。该信息组成的输入向量维数较大，将其直接作为分类器的输入，会消耗较多的处理资源。考虑到目标或者杂波的信号级原始数据具有稀疏结构，这意味着该高维数据可以投影到低维空间而不会丢失重要信息，因此可以先对原始数据进行特征提取，在保留有效特征的前提下，将信号从高维空间降低到低维空间，再输入到分类器进行点迹分类。
根据上述分析，基于特征提取的杂波点迹滤除方法首先提取点迹所在距离单元前后的距离单元和多普勒单元二维信息，考虑到雷达回波信号可能会扩展到相邻波束，因此以点迹所在波束为中心，按方位和俯仰维提取出相邻波束的数据，形成待处理的高维样本数据。再通过基于判别投影的特征提取方法，对数据进行降维的同时保留更多的有效特征，最后输入到点迹分类器中进行处理，根据分类结果保留真实目标点迹，剔除虚假杂波点迹，实现杂波点迹滤除。其处理流程如图1所示。
图1 基于特征提取的点迹滤除处理流程
每个波束内的数据为Nr×Nd的距离-多普勒二维数据，其中Nr为奇数，代表距离维上提取的距离单元的窗长度，点迹最强幅度位于第(Nr+1)2个距离单元上，Nd为多普勒通道数。以点迹所在波束为中心，分别在方位维提取Nazi个波束数据，在俯仰维提取Nele个波束数据，最终一个点迹的信号级原始距离-多普勒数据是一个Nr×Nd×Nazi× Nele大小的数据。对该数据进行重组，形成Nx×1维的数据样本xi，其中Nx=Nr×Nazi×Nd×Nele。对该数据先进行特征提取，提取后的数据样本为yi，再经过分类器后得出二元分类（杂波或目标）结果。
1.2 基于判别投影的特征提取方法
假设一个包含C类的样本集合定义为X={xi∈ℜm,i=1,2,…,n}，其中xi表示第i个样本，且
表示样本的数目，nc表示第c类样本的数目。先对正则化最小二乘法算法进行介绍，并给出其L2范数形式下的解析解，基于此进一步说明RLSDP算法。假设任一样本xi可以用除其本身的其他样本X=[x1,…,xi -1,0,xi+1,…,xn]表示，其表示系数可以通过求解以下正则化最小二乘优化问题获得：
式中：ri∈ℜn为表示系数；λ＞0是正则化参数，用于控制表示误差；q为正则项的范数，用于控制解的稀疏性。
SR和CR都可以用式（1）来表示。当q=1时，式（1）为SR方法；当q=2时，式（1）为CR方法。相对于SR方法，CR方法具有解析解，计算效率更高。RLSDP是基于CR的方法。下面针对q=2的情况，对式（1）进行求解。
将式（1）写成：
式中，约束条件中的向量ei=[01,…,0i-1,1,0i+1,…,0n] T，其目的是为了将xi从X中移除，即让表示系数rii=0。
利用拉格朗日乘子法，根据式（2）可构造拉格朗日函数
式中：η为拉格朗日乘子。将式（3）对ri求导，并令导数等于0，可解得
式中，Ι∈ℜn×n是一个单位矩阵。将式（4）代入式（2）的约束条件中，解得
将式（5）带入式（4），可得表示系数ri的表达式为
式中，Q=(XT X+λI)-1。
RLSDP在获得每个样本的协同表示系数的基础上，通过保持同类样本之间的重构关系，同时最大化不同样本之间的可分离距离，构造两个代价函数：
其中，
和
的定义为
根据式（7）和式（8），RLSDP的代价函数定义为
式中，tr(·)表示矩阵的迹运算，Sb=D(b)-W(b)表示类间散度矩阵，D(b)表示一个对角矩阵且其对角元素为
。求解式（11）等效于求解Sb XTP=γ(I -R+-(R+)T+R+(R+)T) XTP的最大广义特征值问题，其中γ和P分别是一组的最大特征值和特征向量，选取最大的d个特征向量，即可组成d维最优投影矩阵。
2 基于正则化最小二乘加权判别投影的特征提取方法
通过深入分析RLSDP的代价函数可以看出，RLSDP主要利用式（7）通过在投影空间下最小化每个样本xi与其重构样本
的误差，保持投影前后样本的重构关系来提高分类性能。然而式（7）主要存在三个问题：第一，式（7）中只利用同类样本的表示系数
来重构xi，忽略了不同类别间的表示关系，在RLSDP的表示误差‖xi -Xri‖2比较小时，会产生较大的重构误差
。这意味着，RLSDP并不能很好地保持样本间的重构关系。第二，式（7）中通过最小化每个样本与重构形式之间的距离，获得较小的单个样本的重构误差，但无法实现类内样本之间距离的最小化，导致投影空间中类内样本紧致性不足，判别能力下降。第三，表示系数在一定程度上反映了样本之间的局部相似度结构，例如表示系数数值越大代表两个样本距离越近，反之则代表距离越远，在降维前后保持样本的局部结构关系有利于提升识别的稳定性，而RLSDP算法忽略了局部结构关系。
为了解决RLSDP算法中存在的上述三个问题，提出RLSWDP算法。
2.1 算法推导
假设样本xi的重构样本为
，将式（7）改为如下形式：
式中，
是样本xi和xj的加权矩阵，用来表示类内数据的相关性结构信息，定义为
式中，
用于约束同类别样本。根据
的定义，最小化式（12）不但可以实现样本xi与其重构样本之间的误差的最小化，而且可以最小化样本xi与其同类样本之间的距离，这有利于提高类内紧致性。此外，注意到式（13）中利用表示系数构造对同类数据加权，对原空间中相关性强的两个样本采用相应较大的权值，反之采用较小的权值，其主要目的是在最小化式的过程中，保持样本在投影前后具有一致的相关结构信息。式中的参数α＞0，主要用来控制类内样本的紧致性，α越大，类内样本的紧致性越强。
将式（13）转化为矩阵形式
式中，
是对角矩阵，对角元素
。
对于特征提取问题，为了提高算法在低维空间的判别能力，需要最小化类内距离，提高类内紧致性；同时最大化类间距离，提高类间可分性。为此，根据MMC思想，结合式（14）和RLSDP算法中的式（8），RLSWDP的代价函数定义为
式（15）是一个二次凸函数，类似于RLSDP算法，可以通过特征值分解获得最优投影矩阵P。
假设式（16）的d个最大特征值γ1≥γ2≥…≥γd对应的特征向量为p1,p2,…,pd，则最优投影矩阵p=[p1,p2,…,pd]。
2.2 算法步骤
RLSWDP算法的流程分为以下4个步骤：
步骤1：为避免小样本引起奇异值问题，使用经典的主成分分析法对训练数据进行预处理，处理后的数据表示为
；
步骤2：根据式计算协同表示系数r，利用式（10）和式（13）构造加权矩阵W(b)和W(w)，并进一步计算矩阵Sb=D(b)-W(b)和
；
步骤3：根据式（16）计算降维矩阵P；
步骤4：最终，对任意样本x的降维投影结果为
。
3 实验与结果分析
为了验证文中提出的RLSWDP算法的通用性和有效性，我们在人脸数据集和雷达数据集上分别进行验证。
3.1 特征提取性能分析
在YALE人脸数据集上，将文中提出的RLS-WDP算法与RLSDP基线算法进行对比，YALE数据集的详细信息参见表1。
表1 YALE数据集描述
参数 参数值样本大小 32×32类别数 15每类样本数 11样本数目 165
对比式（7）和式（12），文中的RLSWDP算法与RLSDP算法的主要区别有两个方面。其一，RLS-WDP算法使用全部的重构系数ri代替RLSDP算法中使用的同类重构系数
；其二，在RLSDP算法的基础上，RLSWDP算法通过引入加权矩阵进一步实现了类内样本的距离的最小化。下面重点分析上述两个改进的优势。
第一，RLSWDP算法使用全部的重构系数ri可以获得更小的重构误差。重构系数ri代表所有样本在重构xi时的贡献值。由于同类样本相似性较强，ri中较大系数多来源于xi的同类样本。当每类训练样本较少或者类别间相似性较大时，ri中部分较大系数来自于其他类别的样本。此时，RLS-DP算法只考虑同类重构系数
而忽略样本间的重构系数必然会导致较大的重构误差，而RLSWDP算法使用全部的重构系数ri依然可以获得较小的重构误差。为了直观说明，我们选取YALE人脸数据集中前两类样本（共22个样本）为例，统计上述两种重构系数对重构误差的差异，结果如图2所示。从图2可以看出，RLSWDP使用全部的表示系数可以获得更小、更稳定的重构误差。根据代价函数式（11）和式（15），更小的重构误差意味着更大的函数值，这与最大化代价函数的目标是一致的，因此，RLSWDP算法理论上可以获得更好的分类性能。
图2 RLSDP和RLSWDP中使用不同表示系数的重构误差对比
第二，RLSWDP算法通过最小化类内样本之间的距离提升类内样本之间的紧致性，进而提高样本在投影空间中的判别性。为了显性体现RLSWDP算法的这一优势，根据式中
的定义，将式（12）转化为
式中，第一项表示最小化样本xi与其重构的距离，即最小化重构误差。这与RLSDP算法中的式（7）的思路是一致的。式中的第二项表示样本xi与其同类其他样本之间的距离，最小化该项可使得同类样本在投影空间中更加紧凑，而该项在RLSDP算法中未被考虑。因此，在投影空间中，RLSWDP算法可以获得比RLSDP算法更加紧凑的同类样本分布特性，更有利于目标分类。值得说明的是，在第二项中采用rij作为权值，对投影前相关性高的样本采用较大的取值，相关性小的样本采用较小的权值。这样在最小化式（17）过程中更有利于保持样本在投影前后的相关性，这对于维持样本的局部结构信息是有利的。
为了直观展示RLSWDP算法提升类内样本的紧致性的能力，以YALE为例进行二维可视化实验。实验中，从每一类中选取4张图片分别训练RLSWDP和RLSDP算法，得到二维降维投影矩阵，然后将库中所有样本分别进行二维可视化投影。图3展示了两种算法对随机5类样本降维后的二维可视化图。从图中可以看出，RLSDP算法的二维投影较为分散，同类样本的聚集性较差，不同类样本间存在重叠现象。相比而言，得益于式（17）中第二项，RLSWDP算法的同类样本分布更为紧致，且不同类之间边界更为清晰，直观地反映了RLSWDP算法的优越性。
图3 RLSDP和RLSWDP算法对YALE数据集上5类样本的二维可视化图
3.2 在公开数据集上的实验结果
同样在YALE数据集上将文中提出的RLS-WDP特征提取算法与几种流行的特征提取算法LDA［14］，MMC［15］，LLDE［16］，LPDP［17］，MFA［18］，CRP［23］，CRRP［24］和RLSDP［25］进行比较。
为了避免由小样本引起的奇异问题，实验中通过使用经典的主成分分析法对数据进行预处理，保留了98%的数据能量。为对比公平，对于参数化方法，都在最优参数条件下比较它们的性能。特别地，RLSWDP的参数λ分别设置为80、10和10，参数α分别设置为300、100、1 000。对数据集中的每一类数据，随机选择s个样本(表示为s-Train)用于算法训练，余下的样本全部作为测试集用于测试。对于每一个测试集，选取不一样的训练样本s，测试各算法在不同训练样本下的识别性能。与多数的相关工作相似，利用最近邻方法对测试样本进行分类，来测试不同降维算法的分类性能。所有实验均在PC机完成，PC机的配置为Intel Core i7-4790,3.50 GHz,16G RAM。
为了减小随机选择测试样本产生可能的性能偏差，我们对每组数据都进行30次蒙特卡洛测试实验，并利用平均统计结果衡量算法性能。实验中，针对每一个数据集分别对比了各算法在不同训练样本情况下的平均识别精度(Average Recognition Accuracy，ARA)与特征维数(Feature Dimension,FD)的变化关系，以及各算法的最大平均识别精度(Maximum Average Recognition Accuracy，MARA)对比结果。
在选取训练样本s=4,5,6三种情况下测试算法性能。图4描述了各算法在不同训练样本情况下的ARA随FD的变化曲线。表2中列出了各个算法在不同训练样本情况下的MARA以及对应的FD。我们进一步对比了各算法的运行时间，表3中列出了各个算法达到MARA时的平均运行时间。
表2 各算法的MARA±σ%
注：（ ）中数值为对应的FD
算法 4-Train 5-Train 6-TrainCRP 55.28±3.65 (28)57.04±4.01 (32)60.17±4.72 (34)CRRP 67.83±4.16 (15)72.16±4.29 (15)75.77±4.67 (14)LDA 71.20±9.30 (14)76.67±3.84 (14)80.30±4.42 (14)LLDE 65.03±5.57 (13)76.62±3.84 (15)79.87±5.37 (15)LPDP 71.26±3.59 (15)75.78±3.76 (16)78.83±4.41 (15)MFA 72.72±3.84 (17)76.73±3.93 (14)80.17±3.79 (14)MMC 68.88±4.26 (16)71.87±4.94 (14)75.53±4.95 (40)RLSDP 71.30±3.48 (14)76.07±4.05 (14)79.20±4.86 (14)RLSWDP 75.82±3.94 (16)80.18±3.68 (15)83.13±4.16 (12)
表3 各算法达到MARA时的运行时间 s
算法 4-Train 5-Train 6-Train CRP 1.538 2.873 5.241 CRRP 4.572 7.869 14.022 LDA 1.360 2.134 3.768 LLDE 1.418 2.347 4.095 LPDP 1.497 2.469 4.710 MFA 1.349 2.257 4.225 MMC 1.406 2.384 4.443 RLSDP 1.382 2.204 3.796 RLSWDP 1.308 2.154 3.501
图4 各算法在不同训练样本情况下的ARA随FD的变化曲线
RLSWDP算法包括两个参数，分别是正则化参数λ和类内紧致性控制参数α。为了评估两个参数对RLSWDP算法性能的影响，图5描述了RLS-WDP算法在不同参数情况下的ARA随参数λ和α的变化关系。
图5 ARA随参数λ和α的变化
根据以上实验结果，可以得到以下结论：
1）RLSWDP是一种有效的特征提取方法。在所有对比实验中，RLSWDP取得了最好的识别精度。尤其是当训练样本比较少或特征维数较低时，RLSWDP的性能优势更为明显。主要原因是RLSWDP通过利用样本的所有表示系数，真正意义上实现了重构误差的最小化，这一点在训练样本较少时更为明显。其次，通过最小化类内样本距离提高类内样本的紧致性，从而实现最优的分类性能。
2）RLSWDP是一种高效的特征提取方法。表3中的数据显示，相对其他方法，RLSWDP算法的运行时间最少，这表明了RLSWDP具有较高的执行效率。
3）RLSWDP在较大的参数范围内可取得稳定的识别精度。
3.3 在雷达实测数据上的实验结果
将文中特征提取方法应用于雷达杂波点迹滤除，选择支持向量机作为分类器，分析该方法在杂波点迹滤除中的应用效果。分别选取中远程、中近程和近程3个场景进行验证，图6为3个场景的原始点的距离-时间图，图7为文中方法过滤后的点迹的距离-时间图，可以发现，滤除后的点迹较完整地保留了目标点迹，同时滤除掉大量杂波。
图6 滤除前点迹的距离-时间图
图7 滤除后点迹的距离-时间图
为量化分析该方法的应用效果，对3个场景中原始的真实目标点迹和虚假杂波点迹数量，以及滤除的点迹数量进行了统计，数据如表4所示。数据分析结果表明，基于该特征提取算法的点迹过滤方法可对杂波点迹实现90%以上的滤除率，同时目标点迹损失率保持在1%以下。
表4 点迹滤除情况统计表
目标点迹 杂波点迹场景 总数 保留数量 滤除数量 滤除数量 保留数量 备注(正确率)(损失率)总数(滤除率)(虚警率)场景1 7 018 6 957(99.1%)61(0.9%)214 561 207 937(96.9%)6 624(3.1%)中远程场景2 3 694 3 677(99.5%)17(0.5%)49 714 45 736(92.0%)3 978(8.0%)中近程场景3 4 971 4 943(99.4%)28(0.6%)61 083 55 829(91.4%)5 254(8.6%)近程
4 结束语
本文对雷达杂波点迹滤除时的点迹特征提取方法进行了研究，针对传统判别投影算法中由于样本重构误差大和类内样本聚集性差等问题，对RLSDP算法进行改进，提出了一种正则化最小二乘加权判别投影算法。该方法利用所有的表示系数重构样本实现整体样本重构误差的最小化；同时利用表示系数构造加权矩阵，对类内样本间的距离进行加权，实现类内样本之间距离的最小化，提升同类样本的紧致性。为了量化分析和验证本文所提方法的通用性，我们利用公开数据集和雷达实测数据对本文所提方法进行了验证。公开的人脸数据集实验结果表明文中方法相对其他主流方法取得约4%的分类正确率提升，雷达实测数据处理结果表明，将本文方法应用到雷达杂波点迹滤除中，可滤除90%的杂波点迹，同时目标点迹损失率保持在1%以下。
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