0 引 言
随着数字射频存储（Digital Radio Frequency Memory，DRFM）技术[1-3]的不断发展，各类基于截获-调制-转发工作模式的有源相参式干扰相继涌现[4-6]。其中，频谱弥散干扰是一种用于对抗经典线性调频（Linear Frequency Modulation,LFM）信号的典型有源转发式干扰。在实际工作中，由于与雷达发射波形具有强相参性，频谱弥散干扰在雷达接收机中经匹配滤波处理后会产生大量的梳状假目标，进而遮蔽真实目标，达到压制和欺骗效果。
针对频谱弥散干扰对抗难题，现有研究主要集中在接收端回波处理技术上。相关方法主要包括变换域滤波方法[7-8]、信号重构方法[9-11]以及多通道分离方法[12-13]。其中，变换域滤波方法的工作原理在于将回波信号转换到不同的变换域，从而通过变换域滤波处理来分离目标信号。信号重建技术通过估计干扰参数来估计和对消干扰分量，从而获得纯净的目标信号。与前两种方法不同，多通道分离技术主要适用于目标和干扰之间存在空域或极化域差异的应用场景，主要思路是通过提取不同通道内的目标及干扰特征实现干扰抑制。然而在实际应用中，由于目标与干扰呈现严重耦合特性，变换域滤波方法难以构建完美的变化域滤波器，会造成相当大的目标能量损失；信号重构类方法则由于参数估计过程的复杂运算增加系统负担，影响实时性应用。
认知雷达系统的快速发展表明[14]，波形设计与相干信号积累[15]是对抗频谱弥散干扰的有效途径。文献[16-17]专门针对频谱弥散干扰场景开展了认知波形设计研究，其重点在于降低发射波形的自相关旁瓣并最小化干扰信号与匹配滤波器之间的互相关特性。在上述方法中，作者在主分量最小化（Majorization-Minimization，MM）算法框架[18]下简化并求解相应的优化问题，实现了波形域的频谱弥散干扰对抗。此外，文献[19]进一步将波形设计与稀疏分解方法相结合，以压制频谱弥散干扰分量在接收机中产生的密集虚假目标。为进一步提升干扰抑制性能，文献[20]研究了发射波形与空时接收滤波器的联合优化方法，以同时降低干扰信号的自相关旁瓣电平与互相关峰值，并提出了一种迭代惩罚方法来解决抗干扰波形设计过程中的非凸优化问题。
为了充分发挥多脉冲高自由度设计优势，在文献[21]中，作者基于多相编码频率调制（Polyphase Coded Frequency Modulation,PCFM）波形体制，提出一种基于多脉冲互补波形设计方法，有效解决了硬件资源受限条件下优化波形难以高保真发射问题。然而，PCFM波形体制的高保真发射特性以牺牲波形设计自由度为代价，限制了复杂电子对抗条件下的干扰对抗性能。
针对频谱弥散干扰对抗难题，本文提出一种波形域主动式干扰对抗方法，该方法能够通过多脉冲联合互补设计增大波形域抗干扰自由度。在具体实现过程中，首先在频谱弥散干扰分量能量最小化以及多脉冲互补脉压最小化准则下建立目标函数；在此基础上，进一步引入多脉恒模约束条件，以构建用于频谱弥散干扰对抗的多脉冲联合互补设计模型。最后，提出一种基于共轭梯度下降的多脉冲求解方法，实现了对频谱弥散干扰的有效对抗。
1 问题建模
本节首先介绍了频谱弥散干扰的作用原理，然后给出了多脉冲发射条件下的干扰参数化模型。在此基础上，进一步建立了恒模约束条件下的多脉冲互补设计模型。
1.1 频谱弥散干扰参数化建模
图1所示为频谱弥散干扰工作原理示意图，其中Tp表示发射波形时域宽度，L表示子脉冲个数。在实际工作过程中，雷达系统首先向工作空间中辐射脉冲信号，在频谱弥散干扰机检测到雷达信号的上升沿后，干扰机开始截获、存储雷达信号；随后，干扰机对截获的雷达信号进行降采样处理，以获得干扰子脉冲信号；最后，干扰机对干扰子脉冲进行延迟及拼接处理，以获得在时域上与雷达波形等宽的频谱弥散干扰分量。在上述工作过程中，降采样处理能够使得干扰分量在频域进行扩展，进而确保对目标信号进行频谱遮蔽；而复制拼接处理，可以增大接收机中的干扰能量，增强干扰效果。由于频谱弥散干扰分量与雷达发射波形密切相关，雷达接收端在进行相参累积处理时同样会对干扰能量进行累积，进而产生大量的梳状假目标，对真实目标的探测产生严重影响。
图1 频谱弥散干扰工作原理示意图
根据以上分析，频谱弥散干扰对其截获波形的调制及变换处理是一个线性变换过程，因而干扰分量与雷达发射波形具备以下线性关系
式中，s表示长度为N的雷达发射波形，JSMSP为变换矩阵，用于表示频谱弥散干扰机对截获波形的变换处理，sJ表示相应得到的频谱弥散干扰分量。根据频谱弥散干扰分量的产生原理，变换矩阵JSMSP可以表示为
其中，矩阵分量ISMSP可以进一步表示为
其中，Nˉ表示频谱弥散干扰的子脉冲长度，M表示频谱弥散干扰的降采样因子。在频谱弥散干扰分量与雷达发射波形时域采样长度一致时，干扰机降采样因子与子脉冲个数数值一致，即有
1.2 多脉冲互补设计模型
假定雷达系统发射K个互补脉冲，则根据公式（1）所示的波形与干扰分量关系，雷达发射的第k个脉冲对应的干扰分量可以表示为
式中，sk表示系统发射的第k个脉冲，
表示对应的频谱弥散干扰分量。在雷达接收端，经过匹配滤波处理后，干扰分量
对应的脉压结果具有以下表达式：
式中，
表示发射波形补零后结果，
表示干扰分量补零后结果，F表示离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform,DFT）矩阵，(·)H表示共轭转置运算，(·)*表示取共轭，⊙表示哈达玛乘积。
由公式（6）可知，由于干扰分量与发射波形具有一定的相参性，接收端经匹配滤波处理后干扰分量会实现能量累积，进而产生虚假目标，对真实目标形成遮蔽效应。为了实现对假目标抑制，可以通过波形设计手段，压制脉压结果中的各个距离单元响应，从而实现干扰抑制。然而，单脉冲设计时参数自由度有限，无法在强对抗环境下实现对干扰的有效抑制。对此，本文以多脉冲互补设计为思路，通过协同多脉冲参数，扩展频谱弥散干扰对抗自由度，进而提升波形域干扰对抗自由度。
对于发射K个互补脉冲的雷达系统，干扰机对截获的雷达波形分别进行调制及转发处理。在雷达接收端，对应于K个发射脉冲的干扰互补脉压结果可以表示为
由上式可知，K个干扰分量经过相应的脉压处理后，以相参叠加的方式进行累积处理。通过合理选择波形参数，各个干扰分量的脉压响应可以相互对消，进而实现更优的干扰抑制性能。
为了兼顾干扰对抗与目标探测性能，波形脉压低旁瓣同样是波形域抗干扰过程中需要实现的重要性能。与公式（7）相似，K个发射波形的互补脉压结果可以表示为
同样，通过合理选择波形参数，各个发射波形的脉压旁瓣相互对消，而脉压主瓣恒定为KN，因而实现更优的脉压低旁瓣性能。在实际应用中，为了保证雷达发射机始终处于最大效率状态，还需对发射波形的幅度范围施加一定约束，常见的约束包括恒模约束与峰均功率比约束。联合考虑公式（7）和公式（8）所示的干扰互补脉压结果与波形互补脉压结果，最终可以建立以下用于频谱弥散干扰对抗的多脉冲互补设计模型：
式中，s(n)表示波形矢量s的第n个元素，函数分量
分别表示干扰分量互补脉压响应以及波形分量互补脉压响应的旁瓣值，‖·‖p表示p范数。通过求解以上多脉冲互补设计模型，即可获取兼顾干扰对抗与目标探测性能的互补脉冲。
2 求解算法
由于恒模约束存在，上述建立的抗干扰多脉冲互补设计模型是一个典型的非凸优化模型，难以在多项式时间内进行求解。针对这一求解难题，本文提出一种基于相位梯度法的最优波形求解算法，利用迭代求解策略，获取兼顾干扰对抗与目标探测的互补波形。
2.1 算法基本框架
取公式（9）中各个优化变量的相位，则原始关于波形变量的恒模约束问题可以转化为以下关于相位变量的优化问题
对于需要设计的相位矢量α1,…,αK，为了简化优化求解过程，可以通过以下堆叠处理，将多个矢量优化变量转化为相位矩阵优化变量
基于梯度下降策略，相位矩阵的更新过程可以表示为
式中，X表示第t+1次迭代时的相位矩阵，βt+1表示相应的下降步长，可以通过线搜索方式进行确定。此外，Dt+1表示第t+1次迭代时的下降方向，通常由目标函数梯度以及目标函数的海森矩阵确定。大量工作表明，利用目标函数梯度以及前一次的下降方向共同确定Dt+1，能够平衡计算复杂度与波形优化性能。此时，下降方向Dt+1可以表示为
其中，∇f(Xt+1)表示目标函数关于相位矩阵的梯度，γt表示组合系数，可以通过Hestenes-Stiefel公式更新。
2.2 目标函数梯度
在利用公式（13）所示的更新准则求解所需抗干扰波形时，需在每次迭代时计算目标函数的梯度值∇f(Xt+1)。根据梯度计算线性运算准则，目标函数关于相位矢量X的梯度可以计算为
式中，
分别表示函数分量f1(·)和f2(·)关于相位矢量的梯度函数。进一步结合公式（7），函数分量f1(·)关于αk(n)的梯度可以计算为
其中，1表示取值全部为1的列向量。
其中，Re(·)表示实部操作。对上式中的互补脉压结果rJ求偏导数，可得
由于sk=exp(jαk)，可得
其中，j2=-1表示单位虚数，1n表示第n个元素取值为1的列向量。对公式（21）两边分别进行补零处理，可得
其中，
。将公式（22）代入公式（20），进一步联立公式（18）和公式（19），可得函数分量f1(·)关于相位矢量的梯度为
联立公式（23）和公式（24），可得目标函数f(X)关于相位矢量αk的偏导数。因而可以根据公式（14）计算每次迭代时的下降方向。
2.3 算法总结与复杂度分析
表1给出了所提算法的主要步骤，通过循环执行步骤1至步骤4，可以逐渐更新互补波形的相位矩阵。随后，利用相位矩阵与互补波形的映射关系，可以获取优化后的抗干扰互补波形。
表1 抗干扰互补脉冲设计算法迭代步骤
输入：干扰参数J，初始化相位矩阵X0，算法最大迭代次数T，编码长度N，互补脉冲数K输出：抗干扰互补波形集s1,s2,…,sK当t=1,2,…,T时，执行步骤1：根据公式（15）计算目标函数梯度；步骤2：根据公式（14）计算下降方向；步骤3：搜索迭代步长βt；步骤4：根据公式（13）更新相位矢量；直至收敛，输出XT；步骤5：根据公式（12）计算输出最优互补波形集。
在表1中，所提方法的计算复杂度与算法总体迭代次数T呈线性关系。在每次迭代中，计算复杂度主要取决于目标函数以及梯度函数的计算过程。其中，每次计算均涉及到对K个相位矢量求偏导。由于求偏导的计算过程涉及到DFT运算，相位矢量的计算复杂度可以近似为
(Nlog N)。因此，算法的整体计算复杂度可以近似为
(TMNlog N)。
3 实验与结果分析
本节通过数值仿真与电磁计算数据，对所提互补波形设计方法的频谱弥散干扰对抗性能进行检验。实验中，首先对所提算法的收敛性能进行检验，然后在点目标探测场景下检测波形性能。最后，进一步基于典型车辆目标的电磁计算数据，检验优化波形在扩展目标探测场景下的频谱弥散干扰对抗性能。
3.1 算法收敛性分析
本节基于数值仿真实验，对表1中所示算法的收敛性能进行检验。实验过程中，互补波形个数设置为K=3，波形编码长度为N=128，波形设计模型阶数p设置为2，算法最大迭代次数设置为T=5 000。对于频谱弥散干扰参数，干扰机降采样因子及子脉冲个数均设置为4。图2给出了所提算法输出归一化损失函数值随算法迭代次数的变化曲线。由图可知，随着算法迭代的进行，用于互补波形设计的损失函数值单调下降。此外，随着迭代次数的不断加深，损失函数下降速率不断减缓，表明算法逐渐趋向于模型稳定点，表明了所提算法的有效性。
图2 损失函数随迭代次数变换曲线
为了进一步检验不同互补脉冲数条件下所设计波形的脉冲压缩性能与频谱弥散干扰对抗性能，图3给出了发射波形与频谱弥散干扰的互补脉压结果。其中，波形编码长度设置为256，波形设计模型阶数p设置为10，算法最大迭代次数设置为T=5 000，干扰降采样因子设置为8，互补脉冲数分别设置为1，3，5，10。
图3 发射波形与频谱弥散干扰的互补脉压结果
图3（a）给出了不同互补脉冲数条件下发射波形的互补脉压结果。由图可知，所设计的波形在零时延处具有高的脉压峰值，而在旁瓣区域具有低响应值。此外，随着互补脉冲数目的不断增加，波形互补脉压的旁瓣水平也在不断降低。当互补脉冲数从K=1增加到K=10时，互补脉压旁瓣水平降低了25 dB以上。图3（b）给出了不同互补脉冲数条件下频谱弥散干扰的互补脉压结果。由图可知，随着互补脉冲数的逐渐增加，干扰响应水平由-46 dB下降至-85 dB左右，干扰抑制性能逐渐增强。
3.2 干扰条件下点目标探测实验
本节基于数值仿真数据，开展点目标场景下的抗干扰波形性能验证实验。实验中，发射波形脉冲宽度设置为2.56 μs，采样率设置为100 MHz，互补脉冲数设置为K=3，模型阶数设置为p=10，两点目标位置分别设置为5.0 km与5.2 km，干扰子脉冲个数设置为8，信干比设置为-30 dB，其余波形设计算法参数与上节实验保持一致。
为了表明所设计波形在干扰对抗方面的优势，图4（a）和（b）分别给出了利用LFM波形进行探测时的脉压结果。由图可知，当探测环境理想且不存在干扰时，实验预设目标清晰可见。当环境中存在频谱弥散干扰时，干扰分量会产生大量的梳状假目标，峰值旁瓣比达到-5 dB左右，对真实目标形成欺骗及压制效果，无法发现真实目标。为了进一步说明所提算法的频谱弥散干扰对抗性能，图4（c）给出了利用本文所提算法设计的抗干扰波形目标探测的实验结果。同时，为了进一步展示所提算法优势，图4（d）和（e）给出了传统接收端处理类方法中基于变换域滤波的抗干扰方法[7]、发射端处理类方法中基于波形设计的抗干扰方法[20]的实验结果。由图4（c）可知，对含干扰回波进行互补脉压处理后，干扰形成的假目标被有效抑制，脉压旁瓣水平被压制到-30 dB左右，预设目标清晰可见，表明了所提方法在频谱弥散干扰抑制方面的优势。而在对比算法中，由于干扰与目标耦合特性，变换域滤波方法无法有效清除干扰影响，滤波后的干扰残余使得脉压结果达-20 dB左右，效果有限。同时，由于波形设计方法中没有发挥多脉冲联合设计效能，干扰对抗效果也弱于本文所提算法。
图4 点目标场景下不同波形探测结果
3.3 干扰条件下扩展目标探测实验
为了进一步展示所提互补波形设计算法对频谱弥散干扰的对抗性能，本节基于典型空间目标电磁计算数据开展干扰条件下的扩展目标探测实验。
实验过程中，首先建立典型空间卫星目标的计算机辅助设计（Computer-Aided Design，CAD）模型，然后利用电磁仿真计算软件计算目标在不同频点、不同方位、以及不同俯仰条件下的雷达散射截面积（Radar Cross Section，RCS）。在实验过程中，将不同的发射波形与计算得到的RCS数据进行结合，即可得到相应的空间目标回波数据。随后，基于匹配滤波处理准则，即可得到空间目标的脉压结果。在RCS计算过程中，以100 MHz为频率间隔，分别计算9～11 GHz的目标全姿态频率响应值。发射波形参数与干扰参数如前述实验保持一致，抗干扰波形设计算法参数保持不变。图5所示为目标CAD模型。
图5 空间卫星目标的CAD模型
如图6所示为不同波形体制下的扩展目标探测结果。对比图6（a）和（b）可知，由于干扰存在，脉压旁瓣水平得到抬升，目标散射点被干扰形成的假目标遮蔽，严重破坏了观测目标的结构信息。图6（c）所示为基于抗干扰波形的扩展目标探测结果。对比图6（b）和（c）可知，抗干扰波形能够破坏频谱弥散干扰在接收端的能量累积过程，进而对假目标形成压制，使得扩展目标脉压结果中的散射点清晰可见。因而，所提方法实现了对频谱弥散干扰的有效抑制。
图6 扩展目标场景下不同波形探测结果
4 结束语
本文围绕雷达有源转发方式干扰对抗需求，针对脉冲多普勒雷达系统面临的频谱弥散干扰对抗难题，提出一种基于多脉冲互补波形设计的干扰对抗方法。在具体实现过程中，首先根据频谱弥散干扰的形成机理，建立了多脉冲互补波形设计模型；随后提出了基于相位梯度法的最优波形求解算法；最后，通过数值仿真实验验证算法的有效性，在此基础上基于典型空间目标电磁计算数据开展干扰条件下的扩展目标探测实验，抗干扰波形能够破坏频谱弥散干扰在接收端的能量累积过程，对假目标形成压制，实现对频谱弥散干扰的有效抑制。
本文对频谱弥散干扰抑制波形进行了设计与验证，主要针对静态场景下的干扰对抗需求开展研究，而实际对抗场景中雷达与干扰机常常处于动态对抗条件，因此可以进一步结合博弈论相关知识，研究博弈对抗条件下的抗干扰波形决策方法提升算法的应用能力。此外，后续研究还应当充分考虑实际雷达系统的硬件资源约束，进一步探索兼顾干扰对抗与目标探测的最优波形高效设计方法以实现应用效能。
［1］ 董乔龙，刘思琪，张伟见，等.LFM-DPC抗间歇采样转发干扰波形集设计算法［J］.系统工程与电子技术，2025，47（7）:2154-2164.
［2］ 张云，姚慧雨，张倩，等.SAR抗转发式干扰波形设计与优化［J］.哈尔滨工业大学学报，2024，56（9）:17-30.
［3］ 余涛，周正春，杜小勇，等.一种基于完全互补码波形设计的抗间歇式采样转发干扰方法［J］.电子与信息学报，2023，45（11）:3896-3905.
［4］ QIU Xiangfeng，ZHANG Xinyu，JIANG Weidong，et al.Transmit-Receive Joint Optimization Method for Target Measurement Under Interrupted Sampling Repeater Jamming Scenarios［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2025，74:1-18.
［5］ QIU Xiangfeng，JIANG Weidong，LIU Yongxiang，et al.Learning-Enhanced Riemannian Gradient Descent Method for Transmit-Receive Joint Design Toward ISRJ Suppression［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2025，61（3）:6265-6279.
［6］ QIU Xiangfeng，JIANG Weidong，LIU Yongxiang，et al.Constrained Riemannian Manifold Optimization for the Simultaneous Shaping of Ambiguity Function and Transmit Beampattern［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2025，61（3）:5771-5787.
［7］ HANBALI S B S.Countering Self-Protection Smeared Spectrum Jamming Against Chirp Radars［J］.IET Radar，Sonar & Navigation，2021，15（4）:382-389.
［8］ ZHANG Yongxiang，DING Kai.Research on SMSP Jamming Suppression Based on Matched Filtering in FrFT Domain［C］//2024 7th International Conference on Computer Information Science and Application Technology，Hangzhou，China:IEEE，2024:963-966.
［9］ 赵杨，尚朝轩，韩壮志，等.分数阶傅里叶和压缩感知自适应抗频谱弥散干扰［J］.电子与信息学报，2019，41（5）:1047-1054.
［10］ WU Chuanzhang，CHEN Baixiao，YANG Minglei，et al.A Study on Parameter Estimation and Suppression for Smeared Spectrum Jamming Based on Short-Time Fourier Transform［J］.EURASIP Journal on Wireless Communications and Networking，2020（6）:1-16.
［11］ WANG Xiaoge，CHEN Hui，ZHU Yongzhe，et al.SMSP Interference Suppression Method Based on Time-Domain Interference Matching［C］//IET International Radar Conference，Chongqing，China:IEEE，2023:991-997.
［12］ WANG Xiaoge，CHEN Hui，LIU Weijian，et al.ECCM Scheme Against SMSP Interference Based on Interference Reconstruction［C］//2024 IEEE 6th Advanced Information Management，Communicates，Electronic and Automation Control Conference，Chongqing，China:IEEE，2024:161-167.
［13］ WAN Pengfei，LIAO Guisheng，XU Jingwei，et al.SMSP Mainlobe Jamming Suppression with FDA-MIMO Radar Based on FastICA Algorithm［J］.Sensors，2023，23（12）:5619.
［14］ STINCO P，GRECO M，GINI F，et al.Cognitive Radars in Spectrally Dense Environments［J］.IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine，2016，31（10）:20-27.
［15］ WANG Mingxing，LI Xiaolong，GAO Longji，et al.Multichannel Signal Integration Approach for High-Speed Target Detection in Coherent MIMO Radar System［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2024，60（5）:8298-8315.
［16］ LU Shuping，CUI Guolong，YI Wei，et al.Radar Waveform Design Against Signal-Dependent Jamming［C］//2017 IEEE Radar Conference，Seattle，WA，USA:IEEE，2017:1075-1080.
［17］ LU Shuping，CUI Guolong，YU Xianxiang，et al.Cognitive Radar Waveform Design Against Signal-Dependent Modulated Jamming［J］.Progress in Electromagnetics Research B，2018，80:59-77.
［18］ QIU Xiangfeng，YANG Chen，JIANG Weidong，et al.Joint Design of Transmit Waveform and Receive Filter for Cross Ambiguity Function Synthesis［J］.IEEE Wireless Communications Letters，2024，13（3）:839-843.
［19］ JIANG Tao，YU Leixin，XING Jiangnan，et al.Dictionary Learning and Waveform Design for Dense False Target Jamming Suppression［J］.Applied Computational Electromagnetics Society，2021，36（9）:1173-1181.
［20］ ZUO Lei，LAN Zhengyu，LU Xiaofei，et al.Joint Transmit-Receive Filter Design with Lower APSL and ICPL to Suppress Interference［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2024，60（3）:3673-3687.
［21］ QIU Xiangfeng，JIANG Weidong，ZHANG Xinyu，et al.Design of Complementary PCFM Waveform Set for Smearing Spectrum Jamming Suppression in MIMO Radar Systems［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2025，61（4）:10149-10168.