SEEFO算法驱动的多约束稀布阵列优化方法研究

近年来，稀布阵列天线成为研究热点［1-6］。相较于稀疏阵列，稀布结构具备更高的阵元自由度，在提升辐射性能方面展现出优势［7］。例如稀布结构能得到更优的峰值旁瓣电平（Peak Sidelobe Level,PSLL）。在稀布阵列天线设计中，尤其涉及孔径约束、阵元数量和最小间距等多重限制下，稀布阵列天线优化本质上构成了具有挑战性的非线性优化问题［8］。基于贝叶斯压缩感知的方法［9］和矩阵束方法［10］已被探索用于设计具有任意辐射和几何约束的稀布阵列非线性优化问题；同时由于智能优化算法的发展，遗传算法［11-12］、差分进化［13-14］、麻雀搜索算法［15］及灰狼优化算法［16］等智能优化算法已经成为解决此类问题的有效途径。

针对多约束稀布阵列优化已有大量研究案例。文献［11］提出了一种改进的真实遗传算法（Modified Genetic Algorithms, MGA），通过引入排序机制和Chebyshev距离，有效优化了阵元分布，但是Chebyshev距离限制了阵元自由度。文献［17］提出了基于矩阵映射的差分进化算法（Matrix Mapping and Differential Evolution, MMDE），虽然提高了求解优化效率，但是没有充分提升阵列自由度。文献［14］提出的非对称矩阵映射方法改变了矩阵映射规则，相较于矩阵映射法，一定程度上提升了阵列自由度，但是并没有完全提升阵元自由度。文献［15］与文献［16］提出了利用确定性矩阵加权法替代随机选择矩阵的方法，提高了求解效率与求解可靠性，但是阵列的全部潜力仍未得到完全开发，没有完全突破Chebyshev距离网格限制。

2024年，Zhao等人提出了一种新型群体智能优化算法,即电鳗觅食优化（Electric Eel Foraging Optimization, EEFO）［18］算法，该算法模拟电鳗在自然界中的社会化觅食行为，包括互动、休息、狩猎和迁移4种行为机制。通过引入能量因子动态调节全局搜索与局部开发的平衡关系。该算法具有优异的收敛精度与全局寻优能力，特别适用于解决高维、非线性和多约束复杂的工程优化问题。目前EEFO在无人机航迹规划［19］、水文水资源日含沙量预测［20］以及爆破振动信号预处理［21］等问题上均已得到良好应用。由上述可得，在许多优化问题中，EEFO及其改进优于传统的群智能算法［22］，适合处理约束复杂、多变量的问题，并且其在稀布平面阵列天线优化中的使用尚未报道。EEFO算法拥有诸多优点，但EEFO算法仍然存在种群多样性不足和容易陷入局部最优的缺点。为了应对EEFO算法的上述缺点，本文采用结合Sobol序列的EEFO算法（SEEFO）进行多约束稀布阵列天线的优化研究。

基于以上分析，针对具有最小间距约束等多约束条件下的阵列天线优化问题，本文提出一种结合Sobol序列的SEEFO算法和引入高斯扰动的天线方向图优化方法。首先，为了快速生成具有良好副瓣特性的初始稀布阵列、降低计算负担和提升求解效率，利用密度加权法对阵列进行预处理。其次，在利用密度加权法预处理后的阵列基础上，引入Sobol序列对种群初始化，利用Sobol序列的低差异性和适用于高维空间的特性，充分提升阵元位置的多样性。接着采用EEFO算法进一步优化稀布阵列天线各阵元的位置参数，精细化搜索全局最优解。然后，为了充分突破非对称矩阵映射方法中把求解实际距离转化为求解两个映射矩阵的局限性，对优化后的阵列加入高斯扰动，充分提高阵列自由度。最后，通过具体仿真案例验证所提方法的有效性。

1 系统建模

图1描绘了四分之一稀布阵列优化求解模型。整体模型由4N个各向同性辐射单元组成，假设整体阵列位于xOy平面上、分别关于x轴和y轴对称，以及全阵列孔径大小为2L×2H，图1仅给出了位于xOy平面的第一象限阵元位置分布。其中为了确保稀布阵列的孔径，设置第N个阵元的位置坐标为（L, N），其余N-1个阵元分布于图1中的矩形孔径中，全阵列的其余3N个阵元由第一象限阵元关于x轴和y轴对称得到。（xi, yi）表示第i个阵元的坐标，Ii表示第i个阵元的激励信息。

假设所有阵元的激励信息都相同且为1，则稀布阵列天线优化求解模型阵列因子AF(θ, φ)表示为

式中，θ和φ分别为俯仰角和方位角，k为波数，且k=2π/λ，λ为工作波长。

本文设定求解模型中每个阵元之间存在最小间距约束，然而直接求解包含此非线性约束的模型会导致较高的复杂度。因此为了降低计算复杂度，本文通过等效非线性约束，即从均匀满阵阵列出发，通过优选阵元等一系列方法求解系统模型。图2为四分之一阵列满阵图，其余阵元由此四分之一阵列关于x轴和y轴对称得到。

本文将阵元位置矩阵X和Y作为优化变量，并且优化目标为最小化峰值旁瓣电平，则适应度函数设置为

式中，FFmax为主瓣峰值；θ和φ不包含主瓣方向；X和Y为阵元位置向量[x1, x2,…, xN]和[y1, y2,…, yN]变换成的具有P行和Q列的矩阵，其中P≤H/dc、Q≤L/dc，dc为最小阵元间距，具体公式为

整体算法的目标函数设置如下:

为了满足最小化峰值旁瓣电平和最小阵元间距的要求，根据文献［14］，具体约束公式设置如下:

2 结合SEEFO算法与多策略改进的多约束稀布阵列优化方法

2.1 结合Sobol序列的电鳗觅食优化（SEEFO）算法

EEFO是一种全新的群体智能元启发式优化算法，灵感来源于电鳗群体觅食行为。通过模拟电鳗在自然界中的互动、休息、狩猎和迁移4种觅食行为，兼顾全局探索与局部开发，并引入能量因子动态调节探索与开发的平衡，能够在复杂优化问题中展现出优异的性能，尤其适合处理约束复杂、多变量的问题。通过能量因子E(t)决定行为模式:当E(t)>1时，执行探索（Interacting）；当E(t)<1时，随机执行休息（Resting）、狩猎（Hunting）或迁移（Migrating）。

传统的EEFO算法产生初始种群时利用rand函数随机生成初始种群，此方法易产生种群空间分布不均以及覆盖范围较低的问题,容易使得算法陷入局部最优，影响初始种群的多样性。Sobol序列是一种低差异序列，具有均匀分布和高维均匀性的优点，能够更好地填满整个计算空间，并保持较小的采样误差。Sobol序列的核心思想是构造一系列相互独立、均匀分布的点，这些点具有低差异性和高维均匀性。利用Sobol序列产生初始种群能扩大覆盖范围，有效地避免算法陷入局部最优。因此，本文提出SEEFO算法，具体公式如下:

式中:Xi为第i个位置；Kj是Sobol序列产生的第j个随机数，其范围为[0,1]；产生种群的取值范围为[Smax, Smin]。

2.2 密度加权法

对于满阵阵列，进行稀布矩阵时，传统方法是利用随机生成方法生成状态矩阵，但是此种方法生成的状态矩阵很可能不满足较低旁瓣要求，优化算法需要花大量迭代时间去弥补初始劣势。因此，需要一种确定性矩阵加权法代替随机选择矩阵加权法。密度加权法引入了全阵列的归一化幅度分布作为权重引导，中心区域阵元更易保留，边缘区域更易稀疏，能较好地解决传统方法面临的问题。因此，定义阵元位置函数如下:

式中:Wmn为区间[0,1]内均匀分布的随机数；Smn为1表示阵元处于工作状态，反之阵元处于关闭状态；kc为稀疏系数，用于控制稀疏率，且kc>0；Imn为归一化幅度分布，并且具有中心阵元较大，边缘阵元较小的特点。另外，阵列中用于控制阵列孔径大小的阵元要始终处于工作状态，即S1Q=1。因此，定义四分之一阵列位置函数矩阵为

式中，ξ表示不确定状态，既可以为0，也可以为1。

2.3 改进的非对称矩阵映射法

针对具有最小间距约束等多约束条件下的阵列天线优化问题，存在线性约束和非线性约束。线性约束对算法复杂度影响较小，可直接处理；针对阵元最小间距约束，直接处理会显著增加优化复杂度。目前主流方法是通过非对称矩阵映射等技术，将该非线性约束转化为可处理形式进行求解。

然而，非对称矩阵映射法存在一些劣势，如图3所示，阵元Ik与阵元Il在y方向上的最小映射距离为最小间距dc；阵元Ip与阵元Il在x方向上的最小映射距离同样为最小间距dc。这可以严格保证最小间距的约束。但是基于矩阵映射法的局限性，阵元Il与阵元Im之间的最小间距变为

dc，大于最小间距dc。此方法在求解过程中将Euclidean距离简化为Chebyshev距离，虽然可以严格保证阵元间最小间距约束，但是会一定程度上损失阵元自由度，会使阵列的全部潜力得不到充分开发。虽然现有文献对非对称矩阵映射法进行了诸多改进，但是并没有从本质上突破非对称矩阵映射法的网格限制。需要一种方法突破非对称矩阵映射法网格的限制，充分开发阵列的全部潜力。

本文通过对阵元位置加入高斯扰动的方法改进非对称矩阵映射法。此方法首先以式（3）为优化约束，利用SEEFO算法优化得到初始最优阵元位置。此最优阵元位置存在Chebyshev距离网格限制，为了突破此局限性，分别对优化后阵元坐标的x方向和y方向加入高斯扰动。其中，通过调整σ1和σ2为合适值，以控制阵元x方向和y方向的扰动强度，严格保证阵元间最小Euclidean距离间距限制:

具体高斯扰动系列公式为

2.4 多约束稀布阵列优化方法流程图

综上所述，本文提出的多约束稀布阵列优化方法整体流程如图4所示。

3 实验结果分析

本节进行相关实验验证本文所提算法的有效性和可靠性。设置阵元数为4N，最小阵元间距dc为0.5λ，阵列孔径为2L×2H=9.5λ×4.5λ，为了确保仿真结果具有统计学上的显著性，进行100次蒙特卡洛实验。为了便于比较，其余参数设置与文献［15］相同。

在本文实验中，设定阵元数目为100，适应度函数设置为式（2）。根据本文设定，由于其余3个象限阵元可由第一象限阵元对称得到，所以仅考虑优化第一象限阵元位置即可。首先为了提高求解效率，需对阵列预处理，即利用密度加权法生成初始状态矩阵。结合阵列孔径9.5λ×4.5λ，得到的初始四分之一稀布阵列位置分布如图5所示。其中，为了利用阵元确定阵列孔径，生成初始阵列时，要确保第N个阵元(xN, yN)位于(4.75λ, 2.25λ)处。根据此阵元位置即状态矩阵进一步优化。

另外，本文通过全局极值搜索法确定副瓣电平。全局极值搜索法通过遍历天线方向图的所有局部极大值来确定峰值旁瓣电平。排除最大极值，第二极值点即峰值副瓣电平。同时本文阵列是第一象限阵元关于x轴和y轴对称得到，因此利用全局极值搜索法仅需搜索四分之一方向图即可。具体公式如下:

其次，在上述基础上，结合改进的非对称矩阵映射法以及SEEFO算法进一步优化阵元位置。优化后的最优四分之一阵列天线方向图如图6（a）所示，最优全阵列天线方向图如图6（b）所示。图7给出了最优四分之一阵列天线方向图位于ϕ=0°，ϕ=30°，，ϕ=60°和ϕ=90°的切面图。由图7可得，在所有平面上优化得到最优PSLL为-22.596 dB。图8展示了本文方法与各参考文献之间的归一化天线方向图仿真对比。较于文献［11］最优PSLL（-18.84 dB）提升3.756 dB；较于文献［14］最优PSLL（-21.886 dB）提升0.71 dB；相较于文献［15］最优PSLL（-22.195 dB）提升0.401 dB；较于文献［17］最优PSLL（-20.384 dB）提升2.212 dB。

图9给出了利用本文方法与利用文献［15］方法得到的最优阵元位置分布对比结果，表1给出了最优阵元位置的具体坐标。

为了确保仿真结果具有统计学上的显著性，进行蒙特卡洛实验。图10给出了进行100次蒙特卡洛实验的结果，100次蒙特卡洛实验平均最优PSLL为-21.701 dB。相较于文献［14］平均最优PSLL（-20.456 dB）提升1.245 dB；相较于文献［15］平均最优PSLL（-20.776 dB）提升0.925 dB。表2给出了蒙特卡洛实验详细对比信息。

综上可得，本文实验验证了所提方法的有效性和可靠性。本文首先利用密度加权法生成初始状态矩阵，弥补了随机生成矩阵的劣势；其次本文结合了高性能SEEFO算法和改进的非对称映射方法，充分提升了算法的寻优能力和阵元自由度；最后，通过实验结果的对比，充分验证了本文方法的有效性和可靠性。为了验证本文方法的实用性，继续进行相关实验。

为了评估所提方法的实用价值，使用全波电磁场求解器HFSS作为仿真工具，在全波仿真模型上进行实验。采用矩形微带贴片天线进行仿真。在设计矩形微带贴片天线时，需要考虑贴片天线尺寸与理想阵元间距之间的平衡关系。如图11（a）所示，本文设计的贴片天线由三层组成。最下面一层为参考地，长度L1为33.87 mm，宽度W1为33.87 mm；中间层为介质层，采用的材料为Rogers RT/duroid 5880 （tm），相对介电常数为2.2，损耗角正切为0.000 9。长度和宽度与参考地一致，高度H为1.575 mm；最上面一层为辐射源，长度L2为23.6 mm，宽度W2为23.6 mm。另外，设置贴片天线的激励方式为Lumped Port激励；采用同轴探针馈电；边界条件设置为理想边界条件。依据表1设计整体稀布阵列天线模型，图11（b）给出了整体稀布阵列天线模型的俯视图。

进行HFSS仿真实验，得到的S11参数曲线如图12所示。从图中可以看出，贴片天线工作的谐振点为4 GHz左右，并且S11<10 dB的工作频带为3.96 ~ 4.06 GHz。

图13给出了HFSS仿真后的三维天线增益方向图。仿真结果表明，该方法适用于实际的阵列天线优化设计，具有一定的应用价值。

为明确所提算法优化后的稀布阵列在实际应用中能够稳定工作的扫描角范围，进行实验求解其有效扫描边界，并验证该范围内的方向图性能。

依据相控阵波束扫描的相关理论，波束扫描角度的增大会引发波瓣宽度随之变大。不仅如此，当扫描角度增大，增益方向图还会出现较为明显的副瓣、栅瓣，进而造成峰值旁瓣电平偏高的现象。一般来说，在能够稳定工作的扫描角度范围内，不同扫描角相对于零扫描角峰值旁瓣电平允许升高1~3 dB；主瓣宽度相对于零扫描角允许增加10%~20%。图14为不同扫描角度下的方向图。由图14可得，当扫描角度为12°时，最低峰值旁瓣电平为-20.097 dB；相较于零扫描角峰值旁瓣电平升高2.499 dB；主瓣宽度增加5.98%。因此，本文所提算法优化后的稀布阵列在实际应用中能够稳定工作的扫描角范围为-12°~12°。

4 结束语

针对多约束稀布矩形平面阵列优化问题，本文提出了一种SEEFO算法驱动的稀布阵列天线优化方法。实验结果表明，该方法可以提高多约束条件下稀布矩形平面阵列天线的优化性能以及提高优化效率，有效降低天线的峰值旁瓣电平。此外，全波仿真实验被用来评估所提出的方法的可靠性，对阵列天线的优化设计和工程应用具有一定的参考价值。

［1］ PINCHERA D, MIGLIORE M D, PANARIELLO G. Synthesis of Large Sparse Arrays Using IDEA （Inflating-Deflating Exploration Algorithm）［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2018, 66（9）: 4658-4668.

［2］ XU Mingming, ZHANG Chen, QIAO Haidong, et al. Sparse Antenna Array with Flat-Top and Sharp Cutoff Radiation Patterns［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2023, 71（6）: 4695-4703.

［3］ KERZHNER Y, EPSTEIN A. Metagrating-Assisted High-Directivity Sparse Regular Antenna Arrays for Scanning Applications［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2023, 71（1）: 650-659.

［4］ BUI-VAN H, ABRAHAM J, ARTS M, et al. Fast and Accurate Simulation Technique for Large Irregular Arrays［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation,2018, 66（4）: 1805-1817.

［5］ LIU Foxiang, LIU Yanhui, SUN Yuehong, et al. Synthesis of Large Ultrawideband Sparse Planar Arrays by Utilizing a Cooperative Coevolutionary Iterative Fourier Transform［J］. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters,2023, 22（8）: 1833-1837.

［6］ GU Pengfei, WANG Gui, FAN Zhenhong, et al. An Effective Method for the Synthesis of Wideband and Wide-Scanning Sparse Planar Array［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2022, 70（4）: 3064-3069.

［7］洪艳军，唐骏，袁江南，等.基于互质阵列的阵元排布优化方法［J］.雷达科学与技术，2024，22（3）:341-348.

［8］ WANG Ruiqi, JIAO Yongchang. Synthesis of Wideband Rotationally Symmetric Sparse Circular Arrays with Multiple Constraints［J］. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2019, 18（5）: 821-825.

［9］ OLIVERI G, CARLIN M, MASSA A. Complex-Weight Sparse Linear Array Synthesis by Bayesian Compressive Sampling［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2012, 60（5）: 2309-2326.

［10］ GU Pengfei, WANG Gui, FAN Zhenhong, et al. An Efficient Approach for the Synthesis of Large Sparse Planar Array［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2019, 67（12）: 7320-7330.

［11］ CHEN Kesong, YUN Xiaohua, HE Zishu, et al. Synthesis of Sparse Planar Arrays Using Modified Real Genetic Algorithm［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2007, 55（4）: 1067-1073.

［12］ JIANG Yi, ZHANG Shu, GUO Qiang. An Effective Two-Step Approach to the Synthesis of Uniform Amplitude Linear Arrays［J］. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2017, 16:437-440.

［13］姚敏立，王旭健，张峰干，等.基于动态参数差分进化算法的多约束稀布矩形面阵优化［J］.电子与信息学报，2020，42（5）:1281-1287.

［14］ DAI Dingcheng, YAO Minli, MA Hongguang, et al. An Asymmetric Mapping Method for the Synthesis of Sparse Planar Arrays［J］. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2018, 17（1）: 70-73.

［15］ TIAN Xue, WANG Bin, TAO Kui, et al. An Improved Synthesis of Sparse Planar Arrays Using Density-Weighted Method and Chaos Sparrow Search Algorithm［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2023,71（5）: 4339-4349.

［16］陶奎，王斌，田雪，等.基于改进型灰狼优化算法和窗函数加权的稀布矩形平面阵列天线综合［J］.电波科学学报，2024，39（3）:492-501.

［17］ LIU Heng, ZHAO Hongwei, LI Weimei, et al. Synthesis of Sparse Planar Arrays Using Matrix Mapping and Differential Evolution［J］. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2016, 15: 1905-1908.

［18］ ZHAO Weiguo,WANG Liying,ZHANG Zhenxing, et al.Electric Eel Foraging Optimization: A New Bio-Inspired Optimizer for Engineering Applications［J］. Expert Systems with Applications, 2024,238: 122200.

［19］费陈，赵亮，贺拥亮，等.城市环境下无人机群目标打击航迹规划［J］.现代防御技术，2025，53（1）:1-10.

［20］邓智予，谢静，崔东文.基于TVFEMDⅡ-十种鱼群算法-DHKELM模型的日含沙量预测［J］.中国农村水利水电，2025（3）:61-70.

［21］ XU Zhenyang, ZHANG Zuofu, REN Fuqiang, et al. A Parameter Adaptive EEFO VMD Method to Mitigate Noise and Trend Interference of Blast Vibration Signals［J］.Scientific Reports, 2025,15（1）: 10035.

［22］王鑫玮，冯锋.基于多策略改进的电鳗觅食优化算法［J］.计算机科学，2025，52（11）:245-254.